如图1,在矩形ABCD中,AB=4,AD=2,点P是边AB上的一个动点(不与点A、点B重合),点Q在边AD上,将△CBP和△QAP分别沿PC、PQ折叠,使B点与E点重合,A点与F点重合,且P、E、F三点共线.(1)若点E平分线段PF,则此时AQ的长为多少?(2)若线段CE与线段QF所在的平行直线之间的距离为2,则此时AP的长为多少?(3)在“线段CE”、“线段QF”、“点A”这三者中,是否存在两个在同一条直线上的情况?若存在,求出此时AP的长;若不存在,请说明理由.

问题描述:

如图1,在矩形ABCD中,AB=4,AD=2,点P是边AB上的一个动点(不与点A、点B重合),点Q在边AD上,将△CBP和△QAP分别沿PC、PQ折叠,使B点与E点重合,A点与F点重合,且P、E、F三点共线.

(1)若点E平分线段PF,则此时AQ的长为多少?
(2)若线段CE与线段QF所在的平行直线之间的距离为2,则此时AP的长为多少?
(3)在“线段CE”、“线段QF”、“点A”这三者中,是否存在两个在同一条直线上的情况?若存在,求出此时AP的长;若不存在,请说明理由.

(1)将△CBP和△QAP分别沿PC、PQ折叠,得到△QFP和△PCE,
∴△AQP≌△FQP,△CPB≌△CPE,
∴PA=PF,PB=PE,∠QPA=∠QPF,∠CPB=∠CPE.
∵点E平分线段PF,
∴EF=EP=PB.
∵AB=4,
∴PB=

4
3
,AP=
8
3

∵∠QPA+∠QPF+∠CPB+∠CPE=180.
∴∠QPA+∠CPB=90°.
∵四边形ABCD是矩形,
∴∠A=∠B=90°,
∴∠CPB+∠PCB=90°,
∴∠QPA=∠PCB,
∴△QAP∽△PBC,
QA
PB
AP
BC

QA
4
3
8
3
2

∴QA=
16
9
; 
(2)由题意,得
EP-PF=2.
∴PB-AP=2,
∵AP+PB=4,
∴2BP=6,
∴BP=3,
∴AP=1.
由题意,得
PF-EP=2.
∴AP-PE=2,
∵AP+PB=4,
∴2AP=6,
∴AP=3,
故AP的长为1或3;
(3)①若CE与点A在同一直线上,则
△AEP∽△ABC
AP
AC
PE
BC

设AP=x,
x
2
5
=
4−x
2

∴x=5-
5

②如图3,若CE与QE在同一直线上,则
∴EP=AP=BP,
∴2AP=4,
∴AP=2.
答案解析:(1)根据条件可以得出△AQP≌△FQP,△CPB≌△CPE,就可以得出PA=PF,PB=PE,由点E平分线段PF就可以得出EF=PE=PB,可以求出PB的值由三角形相似及可以AQ的值;
(2)由(1)的结论可以得出AP-PB=2,由AP+PB=4,以及EP-PF=2,PB-AP=2,解一个二元一次方程组解可以求出结论;
(3)如图2,当CE与点A在同一直线上△AEP∽△ABC,设AP=x,根据相似三角形的性质就可以求出结论;若CE与QE在同一直线上,如图3,由AP=BP可以求出结论.
考试点:四边形综合题.
知识点:本题是一道四边形综合试题,考查了轴对称的性质的运用,相似三角形的判定及性质的运用,解答本题时合理运用相似三角形的性质是解答本题的关键.