答
(1)将△CBP和△QAP分别沿PC、PQ折叠,得到△QFP和△PCE,
∴△AQP≌△FQP,△CPB≌△CPE,
∴PA=PF,PB=PE,∠QPA=∠QPF,∠CPB=∠CPE.
∵点E平分线段PF,
∴EF=EP=PB.
∵AB=4,
∴PB=,AP=.
∵∠QPA+∠QPF+∠CPB+∠CPE=180.
∴∠QPA+∠CPB=90°.
∵四边形ABCD是矩形,
∴∠A=∠B=90°,
∴∠CPB+∠PCB=90°,
∴∠QPA=∠PCB,
∴△QAP∽△PBC,
∴=,
∴=
∴QA=;
(2)由题意,得
EP-PF=2.
∴PB-AP=2,
∵AP+PB=4,
∴2BP=6,
∴BP=3,
∴AP=1.
由题意,得
PF-EP=2.
∴AP-PE=2,
∵AP+PB=4,
∴2AP=6,
∴AP=3,
故AP的长为1或3;
(3)①若CE与点A在同一直线上,则
△AEP∽△ABC
∴=,
设AP=x,
∴=
∴x=5-
②如图3,若CE与QE在同一直线上,则
∴EP=AP=BP,
∴2AP=4,
∴AP=2.
答案解析:(1)根据条件可以得出△AQP≌△FQP,△CPB≌△CPE,就可以得出PA=PF,PB=PE,由点E平分线段PF就可以得出EF=PE=PB,可以求出PB的值由三角形相似及可以AQ的值;
(2)由(1)的结论可以得出AP-PB=2,由AP+PB=4,以及EP-PF=2,PB-AP=2,解一个二元一次方程组解可以求出结论;
(3)如图2,当CE与点A在同一直线上△AEP∽△ABC,设AP=x,根据相似三角形的性质就可以求出结论;若CE与QE在同一直线上,如图3,由AP=BP可以求出结论.
考试点:四边形综合题.
知识点:本题是一道四边形综合试题,考查了轴对称的性质的运用,相似三角形的判定及性质的运用,解答本题时合理运用相似三角形的性质是解答本题的关键.