已知椭圆方程x²/a²+y²/b²=1（a大于b大于0）长轴端点为A1,A2,焦点为F1,F2,P是椭圆上一点,角A1PA2=β,角F1PF2=α.求三角形F1PF2的面积.【用a、b、α表示】答案和β无关,也就是β的内个角没有用,看过老师做了一遍但是现在做到卡住了.
问题描述：
已知椭圆方程x²/a²+y²/b²=1（a大于b大于0）长轴端点为A1,A2,焦点为F1,F2,P是椭圆上一点,角A1PA2=β,角F1PF2=α.求三角形F1PF2的面积.【用a、b、α表示】答案和β无关,也就是β的内个角没有用,看过老师做了一遍但是现在做到卡住了.
答
设|PF1|=m,|PF2|=n
根据椭圆定义：
m+n=2a ①
根据余弦定理：
m²+n²-2mncosα=|F1F2|²=4c² ②
①²-②:
2mn+2mncosα=4(a²-c²)=4b²
∴mn=2b²/(1+cosα)
=b²/cos²(α/2)
∴三角形F1PF2的面积
S=1/2mnsinα=mnsinα/2cosα/2
=b²/cos²(α/2)*sinα/2cosα/2
=b²*(sinα/2)/(cosα/2)
=b²tan(α/2)