高一解三角形题：在三角形ABC中,A=60°,b=5,且三角形的面积为10根号3则三角形ABC外接圆直径是?
问题描述：
高一解三角形题：在三角形ABC中,A=60°,b=5,且三角形的面积为10根号3则三角形ABC外接圆直径是?
高一解三角形题：在三角形ABC中，A=60°，b=5，且三角形的面积为10√3,则三角形ABC外接圆直径是？
答
方法一：
过B作BD⊥BC交BC于D.
显然有：△ABC的面积＝（1/2）AC×BD＝（1/2）×5BD＝10√3,∴BD＝4√3.
∵BD＝4√3、BD⊥AD、∠A＝60°,∴AD＝BD/√3＝4,∴CD＝AC－AD＝5－4＝1.
由勾股定理,有：BC＝√（BD^2＋CD^2）＝√（48＋1）＝7.
由正弦定理,有：2R＝BC/sinA＝7/（√3/2）＝14√3/3.
∴△ABC外接圆的直径是 14√3/3.
方法二：
由三角形面积公式,有：△ABC的面积＝（1/2）AB×ACsinA＝10√3,
∴（1/2）×5×ABsin60°＝10√3, ∴AB＝4√3/（√3/2）＝8.
由余弦定理,有：
BC^2＝AB^2＋AC^2－2AB×ACcosA＝64＋25－2×8×5cos60°＝89－40＝49, ∴BC＝7.
由正弦定理,有：2R＝BC/sinA＝7/（√3/2）＝14√3/3.
∴△ABC外接圆的直径是 14√3/3.