对矩阵进行正交化有什么好处?对于矩阵对角化的目的比较容易理解,因为对角矩阵比较容易计算逆、幂等等.对于一个复数域上的n阶方阵A,只要A有n个线性无关的特征向量,它就能通过一个满秩矩阵B对角化.这一过程称作相似对角化.同样是复数域上的n阶方阵A,变换矩阵B如果是正交矩阵,则对角化过程称为正交对角化；B如果是酉矩阵,则称为酉对角化.问题是正交对角化,酉对角化有什么特别的好处呢?我不是数学专业的,请赐教.能谈谈更多的正交对角化的意义吗?比如举实例说明下,一些什么样的具体情况下会用到正交对角化?无论是实数域上的还是复数域上的?
问题描述：
对矩阵进行正交化有什么好处?
对于矩阵对角化的目的比较容易理解,因为对角矩阵比较容易计算逆、幂等等.
对于一个复数域上的n阶方阵A,只要A有n个线性无关的特征向量,它就能通过一个满秩矩阵B对角化.这一过程称作相似对角化.
同样是复数域上的n阶方阵A,变换矩阵B如果是正交矩阵,则对角化过程称为正交对角化；B如果是酉矩阵,则称为酉对角化.
问题是正交对角化,酉对角化有什么特别的好处呢?我不是数学专业的,请赐教.
能谈谈更多的正交对角化的意义吗?
比如举实例说明下,一些什么样的具体情况下会用到正交对角化?无论是实数域上的还是复数域上的?
答
正交矩阵实现的变换称为正交变换,酉矩阵实现的变换成为酉变换,它的好处是保持空间的几何度量不变,所以它们也称为刚体变换.比如一个元经过一个一般的满秩变换,它可能就变成椭圆,而经过正交变换或酉变换,它还是圆.