三角形外接圆的直径和三角形垂线的关系今天突然跟朋友争论起了这个问题,忘记三角形和他的外接圆的关系了.不好意思,N年前就忘记了.我觉得如果三角形的垂线与它的外接圆直径重合,那么这个三角形一定是等腰或者等边三角形.如果哪位有定理或者命题证明对与错,请指教下.给50点的报酬吧,呵呵.就算你们说的有道理，但是没有定理或者命题这些依据，我不就是白白问了么？既然是一定的，那么前人应该给的有证明或者命题出来。我要的是证据啊，空口无凭，能不能告诉下相关的定理？什么问题都是要证据的呢~
问题描述：
三角形外接圆的直径和三角形垂线的关系
今天突然跟朋友争论起了这个问题,忘记三角形和他的外接圆的关系了.不好意思,N年前就忘记了.
我觉得如果三角形的垂线与它的外接圆直径重合,那么这个三角形一定是等腰或者等边三角形.
如果哪位有定理或者命题证明对与错,请指教下.
给50点的报酬吧,呵呵.
就算你们说的有道理，但是没有定理或者命题这些依据，我不就是白白问了么？既然是一定的，那么前人应该给的有证明或者命题出来。我要的是证据啊，空口无凭，能不能告诉下相关的定理？什么问题都是要证据的呢~
答
yes
如果三角形的垂线与它的外接圆直径重合，这个三角形一定是等腰三角形
答
设圆O是三角形ABC的外接圆，由于三角形ABC的垂线AD与它的外接圆O直径重合，设AD垂足BC于D，则有BD=CD，而且角ADB和角ACB都是直角，而且AD是公共边，所以三角形ADB和三角形ACB是全等三角形，所以AC=AB，即三角形ABC必然是等腰三角形，当BC=AC=AB时，则是等边三角形。
答
你的观点是对的.
三角形的的垂线与它的外接圆直径重合,那它的垂线肯定过圆心,
与这个垂线垂直的三角形的边,与圆有两个焦点是三角形的两个顶点.
你在想想,在圆里,与直径（也就是垂线）垂直的边与圆的两个焦点肯定是对称的,那么肯定有两边相等,就一定是等腰三角形.等边只是特殊情况而已.
因为没法画图,说得不知道明白不?
另外你可以这样子来验证,
你先画个圆,在画个直径（垂线是这个直径的一部分）,再画出与这个垂线垂直的边,与圆交于两点,不管你怎么连,连出来的都是等腰三角形.