已知A,B是椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)长轴的两个顶点,M,N是椭圆上关于x轴对称的亮点,直线AM,BN的斜率分别为k1,k2,且k1k2≠0.若|k1|+|k2|的最小值为1,则椭圆的离心率为?
问题描述：
已知A,B是椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)长轴的两个顶点,M,N是椭圆上关于x轴对称的亮点,直线AM,BN的斜率分别为k1,k2,且k1k2≠0.若|k1|+|k2|的最小值为1,则椭圆的离心率为?
答
设M（x0，y0），N（x0，-y0），A（-a，0），B（a，0）
k1= y0x0+a，k2= y0a-x0
|k1|+|k2|=| y0x0+a|+| y0a-x0| ≥2|y0x0+a|×|y0a-x0|=2 y02a2-x02=1
当且仅当 y0x0+a= y0a-x0，即x0=0，y0=b时等号成立
∴2 y02a2-x02=2 ba=1∴a=2b
又因为a2=b2+c2∴c= 32a
∴e= ca=32
答
设M（x0,y0）,N（x0,-y0）,A（-a,0）,B（a,0）
k1= y0／﹙x0+a﹚,k2= y0／﹙a-x0﹚
|k1|+|k2|=| y0／x0+a|+| y0／a-x0| ≥2√|y0／x0+a|×|y0／a-x0|
=2 √y0^2／a^2-x0^2=1
当且仅当 y0／x0+a= y0／a-x0,即x0=0,y0=b时等号成立
∴2 √y0^2／a^2-x0^2=2 b／a=1
∴a=2b
又∵a2=b2+c2∴c= √3／2a
∴e= c／a=√3／2