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设点M（m，0）在椭圆x216+y212＝1的长轴上，点P是椭圆上任意一点．当MP的模最小时，点P恰好落在椭圆的右顶点，求实数m的取值范围．

分类: 作业答案 • 2022-07-09 18:33:31
问题描述：

设点M（m，0）在椭圆

x2
16
+
y2
12
＝1的长轴上，点P是椭圆上任意一点．当
MP
的模最小时，点P恰好落在椭圆的右顶点，求实数m的取值范围．

答

设P（x，y）为椭圆上的动点，由于椭圆方程为

x2
16
+
y2
12
＝1，故-4≤x≤4．
因为
MP
＝(x−m，y)，所以|
MP
|2＝(x−m)2+y2＝(x−m)2+12×(1−
x2
16
)
推出|
MP
|2=
1
4
x2−2mx+m2+12＝
1
4
(x−4m)2+12−3m2．
依题意可知，当x=4时，|
MP
|2取得最小值．而x∈[-4，4]，
故有4m≥4，解得m≥1．
又点M在椭圆的长轴上，即-4≤m≤4．故实数m的取值范围是m∈[1，4]．

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