关于x的一元二次方程x2-(m-3)x-m2=0.(1)证明:方程总有两个不相等的实数根;(2)设这个方程的两个实数根为x1,x2,且|x1|=|x2|-2,求m的值及方程的根.

问题描述:

关于x的一元二次方程x2-(m-3)x-m2=0.
(1)证明:方程总有两个不相等的实数根;
(2)设这个方程的两个实数根为x1,x2,且|x1|=|x2|-2,求m的值及方程的根.

(1)一元二次方程x2-(m-3)x-m2=0,
∵a=1,b=-(m-3)=3-m,c=-m2
∴△=b2-4ac=(3-m)2-4×1×(-m2)=5m2-6m+9=5(m-

3
5
2+
36
5

∴△>0,
则方程有两个不相等的实数根;
(2)∵x1•x2=
c
a
=-m2≤0,x1+x2=m-3,
∴x1,x2异号,
又|x1|=|x2|-2,即|x1|-|x2|=-2,
若x1>0,x2<0,上式化简得:x1+x2=-2,
∴m-3=-2,即m=1,
方程化为x2+2x-1=0,
解得:x1=-1+
2
,x2=-1-
2

若x1<0,x2>0,上式化简得:-(x1+x2)=-2,
∴x1+x2=m-3=2,即m=5,
方程化为x2-2x-25=0,
解得:x1=1-
26
,x2=1+
26

答案解析:(1)找出一元二次方程中的a,b及c,表示出b2-4ac,然后判断出b2-4ac大于0,即可得到原方程有两个不相等的实数根;
(2)利用根与系数的关系表示出两根之和与两根之积,判断出两根之积小于0,得到两根异号,分两种情况考虑:若x1>0,x2<0,利用绝对值的代数意义化简已知的等式,将表示出的两根之和代入,列出关于m的方程,求出方程的解得到m的值,进而确定出方程,求出方程的解即可;若x1<0,x2>0,同理求出m的值及方程的解.
考试点:根与系数的关系;根的判别式.
知识点:此题考查了一元二次方程根的判别式,以及根与系数的关系,一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0),当b2-4ac>0时,方程有两个不相等的实数根;当b2-4ac=0时,方程有两个相等的实数根;当b2-4ac<0时,方程没有实数根.