王叔叔家有一块等腰三角形的菜地,腰长为40米,一条笔直的水渠从菜地穿过,这条水渠恰好垂直平分等腰三角形的一腰,水渠穿过菜地部分的长为15米(水渠的宽不计),请你计算这块等腰三角形菜地的面积.

问题描述:

王叔叔家有一块等腰三角形的菜地,腰长为40米,一条笔直的水渠从菜地穿过,这条水渠恰好垂直平分等腰三角形的一腰,水渠穿过菜地部分的长为15米(水渠的宽不计),请你计算这块等腰三角形菜地的面积.

根据题意,有三种情况:
(1)当等腰三角形为锐角三角形时(如图1所示),
∵D为AB中点,
∴AD=DB,
∵AD=DB=20米,DE=15米,
∴AE=

202+152
=25(米),
过C点作CF⊥AB于F,
∴DE∥CF,
∴△ADE∽△AFC,
DE
CF
AE
AC

∴CF=
15×40
25
=24(米),
∴S△ABC=
1
2
AB•CF=
1
2
×40×24=480(米2);
(2)当等腰三角形为钝角三角形时(如图2所示),
过A点作AF⊥BC于F点,
∵AD=BD=20米,DE=15米,
∴BE=25米,
∵∠B=∠B,∠BDE=∠AFB,
∴△BDE∽△BFA,
BD
BF
=
BE
AB
=
DE
AF

∴BF=
20×40
25
=32(米),
∴BC=2×32=64(米),AF=24米,
∴S△ABC=
1
2
×64×24=768(米2);
(3)当等腰三角形是等腰直角三角形时,不符合情况.如图:
∵∠BAC=90°,∠B=45°;∠BED=90°,∠EDB=45°,
∴∠B=∠EDB,BE=DE,
但∵BE=20米,DE=15米.
所以不符合情况.
答案解析:本题要分等腰三角形的顶角是锐角或钝角三种情况讨论解答.当顶角为锐角时,利用勾股定理求出AE,添加辅助线可求出△ABC的面积.当顶角为钝角时,作等腰三角形边上的高,利用比例求出AF即可求解.当顶角为直角时,连接AD,求出BD=AD=DC,求出BD、BC,即可求解
考试点:等腰三角形的性质;线段垂直平分线的性质.
知识点:本题考查的是线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质,关键是作出等腰三角形的高,并且要分三种情况讨论解答.难度中等,要学会实际问题数学化,通过数学知识解决实际问题,是一种很重要的方法,要熟练掌握.