The patient thinks it is medicine and begins to get better.有什么特殊用法吗?

表示并列。就是连接一下的语气。

and连结两个谓语动词thinks和begins 并列！也没什么特殊！学习进步！！

并列谓语而已：The patient thinks .,The patient begins.两句并在一起,连接作用~~~无特殊~~~

没有，就是and的意思。
The patient thinks it is medicine, and (the patient) begins to get better.
他认为那就是良药，于是逐渐地好了起来。