x^2e(-x^2)dx 的正无穷负无穷定积分是多少?
问题描述：
x^2e(-x^2)dx 的正无穷负无穷定积分是多少?
答
x^2*e^(-x^2)dx =-(x/2)d(e^(-x^2))
由上式用"分部积分公式",得到前面一部分是-(x/2)*(e^(-x^2))l上面正无穷,下面负无穷,这一项的值为零,后面一部分还是一个反常（广义）积分,就是积分(1/2)e^(-x^2)dx,从负无穷到正无穷.
这一部分需要用到二重积分,不能直接计算,我们先算其平方,写成两个相同积分的乘积,然后把其中一个积分的积分变量由原来的x变成y.这样就成了一个累次积分,再把这个累次积分转换成二重积分,此时积分中的微分变成是dxdy,被积函数是(1/4)e^(-x^2-y^2)
再引入一般的极坐标变换,变量变成r和θ,被积函数是(1/4)re^(-r^2),微分是drdθ,r从0到正无穷,θ是从0到2π.
到这一步的积分你应该可以自己计算出来了,结果是π/4.
最后再开方得到原来积分的结果是√π/2 .
朋友,这个题的难度跟你出的5分不太等值吧.