哪些数学概念是规定的

数学概念是构筑数学理论的基石,是数学思想方法的载体.高等数学是由概念—性质（公式）—范例组成的数学系统,概念是源头,性质（公式）都是由它衍生出来的,因而高等数学概念的教学在整个高等数学的教学体系中显得极其重要.高等数学概念与初等数学概念相比更加抽象,往往都以运动的面貌出现,是动态的产物,因而高等数学概念的学习者往往需要做出思维模式上的调整.这就要求我们在高等数学概念教学过程中不仅要重视概念的实际背景与学生已有的知识经验,更要注重学生在概念形成中的心理过程,解决抽象的高等数学概念给他们带来的心理困惑. 　　在教师指导下数学概念获得的过程一般分为以下六个步骤［１］： 　　（1）观察一组实例,从中抽取共性； 　　（2）下定义,分析含义,了解概念的本质属性； 　　（3）举正、反例,弄清该概念的内涵和外延； 　　（4）将该概念与其他有关概念进行联系和分化； 　　（5）重新描述概念的意义； 　　（6）运用概念,使之变成思维中的具体. 　　通过对上六个步骤心理过程的分析,我们可以把学生数学概念的形成概括为两个心理阶段：一是从正确完整的概念意象抽象出概念的规定（这里的概念意象也就是在学生的头脑中和所要学习的概念名称相联系的思维图像以及描述它们所有特征的性质）；二是使概念抽象的规定在思维过程中导致具体的再现.因而教师在概念教学中主要把握就是这两个阶段的基本要求：如何让学生产生正确完整的高等数学的概念意象,并从中抽象出高等数学概念的内涵,以及如何使这一概念成为学生思维中的具体,即将概念的形象化. 　　1.从正确完整的概念意象到抽象的数学概念 　　一般常识性的概念的形成都需要一定数量的经验,从对具有某种共同性质的实例中概括、抽象,然后再分类过程中获得.数学概念更加抽象,但仍然是一种处理实际思维的方法.没有实际思维材料,就没有思维运算的对象,运算没有对象,抽象就没有基础.从心理本质上讲,数学概念学习中,仍应以实例为出发点,这是运算思维的要求.所以数学概念应通过恰当的实例进行组织整理、分析归纳、分类抽象来教学.实际上,这些引例在概念学习之前不仅介绍了基本概念产生的客观背景及其在解决实际问题中的意义,也有利于教师后面对所学概念给出几何意义、物理解释以及其他联系实际的解释,还让学生感受到数学概念不是凭空设想出来的,而是来源于实际,根据实际需要建立的.更重要的是从这些引例中得到的概念意象——这些在学生的头脑中具有的和所要学习的概念名称相联系的思维图像以及描述它们所有特征的性质,是抽象得出所要学习的概念的基础前提. 　　这里我们要强调注意在学生头脑中所形成的概念意象的正确性和完整性.不正确和不全面的概念意象可以影响学生头脑中形成的数学概念的准确性和全面性. 　　在微分学中学习函数图形的切线这一概念时,我们给出了函数的图像,结果发现：80%的学生正确地认为可以在原点画出一条切线,但是能正确画出切线的学生数竟低于20%.调查表明,90%以上学生反思在他们形成切线概念的概念意象中,函数图像除了极大值点和极小值点外,其他的点不存在水平的切线. 　　另外不恰当的概念意象还会严重影响学生头脑中形式化理论的发展.以极限这一概念为例,Robert（1982）分析过一系列学生用于处理极限问题的思维模型［２］,这些模型被看作是概念意象的很好的例证.Cornu（1981）和Sierpinska（1985）曾把学生学习极限概念的演变作为一个克服障碍的过程,并提出了五类障碍,其中最重要的就是恐惧无限,其结果就是不少学生不把无限作为一个专门的数学运算,或干脆使用不完全归纳法求得极限.Wheeler和Martin（1988）也曾研究得出,学生关于无限概念和他们头脑中所蕴含的概念意象明显不一致［２］. 　　2.从抽象的规定到思维中的具体 　　从正确完整的概念意象抽象得到的数学概念是学生掌握数学概念的第一个重要的心理过程,概念是否得到正确掌握还要检验概念的抽象规定是否能变成学生思维中的具体,也就是将概念的形象化能力. 　　比如在学习导数和微积分的概念时,学生往往有一种强烈的心理倾向,就是将这些内容化为代数运算,而避免图像和几何意象,求函数的导数和微积分的“大运动量”的强化运算也使得学生头脑中形成的关于导数和微积分的概念缺乏形象化,影响对数学概念的真正理解和运用. 　　例如讨论f(x,y)=2x+4y+y ( +x )的可微性时,90%以上的学生立刻计算f的偏导数,而不是观察表达式的结构.其原因就是学生在一个纯粹算法的水平上理解了微分的概念,并没有把微分理解为逼近,也没有把它作为函数. 　　又如学生在学习积分时,往往是把积分计算作为求原函数,背诵记忆积分公式.他们能很熟练地写出某个函数的原函数,但让他们解决下列一个问题时,几乎没有学生认识到这是个典型的积分问题.所举例的问题是这样的：求放在一条直线上的一根均匀的给定长度的细棍与位于该直线上的一个质点之间的引力. 　　产生这些结果的原因有两个：由于对函数概念理解不全面,学生不能把微分和积分看作是函数；以及微分和积分与他们头脑中的函数的意象不一致.归根到底就是学生对函数、微分、积分等这些概念的形象化的缺乏,使得这些概念抽象的规定不能转化为思维中的具体.