设X1,X2,…,X9是来自正态总体X的简单随机样本,Y1=1/6(X1+X2+…+X6),Y2=1/3(X7+X8+X9),S2=1/29i=7(Xi-Y2)2,Z=2(Y1−Y2)S,证明统计量Z服从*度为2的t分布.

问题描述:

设X1,X2,…,X9是来自正态总体X的简单随机样本,Y1=

1
6
(X1+X2+…+X6),Y2=
1
3
(X7+X8+X9),S2=
1
2
9
i=7
(Xi-Y22,Z=
2
(Y1Y2)
S
,证明统计量Z服从*度为2的t分布.

证明:设X~N(μ,σ2),则有E(Y1)=E(Y2)=μ,D(Y1)=

σ2
6
,D(Y2)=
σ2
3
.由于Y1与Y2相互独立,
    因此有E(Y1-Y2)=0,D(Y1-Y2)=
σ2
2
,所以Y1-Y2~N(0,
σ2
2
),
   从而U=
Y1−Y2
σ
2
~N(0,1),又由正态总体样本方差的性质,知V=
2S2
σ2
~χ2(2)
      又因Y1-Y2与S2相互独立,因此
U
V
2
=
2
(Y1Y2)
S
~t(2)