设X1,X2,…,X9是来自正态总体X的简单随机样本,Y1=1/6(X1+X2+…+X6),Y2=1/3(X7+X8+X9),S2=1/29i=7(Xi-Y2)2,Z=2(Y1−Y2)S,证明统计量Z服从*度为2的t分布.
问题描述:
设X1,X2,…,X9是来自正态总体X的简单随机样本,Y1=
(X1+X2+…+X6),Y2=1 6
(X7+X8+X9),S2=1 3
1 2
(Xi-Y2)2,Z=9 i=7
,证明统计量Z服从*度为2的t分布.
(Y1−Y2)
2
S
答
证明:设X~N(μ,σ2),则有E(Y1)=E(Y2)=μ,D(Y1)=
,D(Y2)=σ2 6
.由于Y1与Y2相互独立,σ2 3
因此有E(Y1-Y2)=0,D(Y1-Y2)=
,所以Y1-Y2~N(0,σ2 2
),σ2 2
从而U=
~N(0,1),又由正态总体样本方差的性质,知V=Y1−Y2
σ
2
~χ2(2)2S2
σ2
又因Y1-Y2与S2相互独立,因此
=U
V 2
~t(2)
(Y1−Y2)
2
S