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设X1，X2，…，X9是来自正态总体X的简单随机样本，Y1=1/6（X1+X2+…+X6），Y2=1/3（X7+X8+X9），S2=1/29i＝7（Xi-Y2）2，Z=2(Y1−Y2)S，证明统计量Z服从*度为2的t分布．

分类: 作业答案 • 2022-07-01 15:45:57

问题描述：

设X₁，X₂，…，X₉是来自正态总体X的简单随机样本，Y₁=

1

6

（X₁+X₂+…+X₆），Y₂=

1

3

（X₇+X₈+X₉），S²=

1

2

9

i＝7

（X_i-Y₂）²，Z=

2

(Y1−Y2)

S

，证明统计量Z服从*度为2的t分布．

答

证明：设X～N（μ，σ²），则有E（Y₁）=E（Y₂）=μ，D（Y₁）=

σ2

6

，D（Y₂）=

σ2

3

．由于Y₁与Y₂相互独立，
因此有E（Y₁-Y₂）=0，D（Y₁-Y₂）=

σ2

2

，所以Y₁-Y₂～N（0，

σ2

2

），
从而U=

Y1−Y2

σ

2

～N（0，1），又由正态总体样本方差的性质，知V=

2S2

σ2

～χ²（2）
又因Y₁-Y₂与S²相互独立，因此

U

V

2

=

2

(Y1−Y2)

S

～t（2）