极限定义里,为什么用“存在”“任意”“不等式”的数学语言来定义极限?怎样将普通语言转化为数学语言的定义里面有个任意给定值,在证明题里面怎么证明任意啊?随便取的一个值符合题目要求就可以证明了吗?就是不知道这些数学语言是怎么想出来的……极限思想是什么？干嘛这么绕……

楼主的问题显然是有备而来,是经过严格逻辑分析后有感而发的问题.
确确实实,我们的高数教师,在教极限时,其实他们的大多数,也只是
跟着和尚就念经,跟着道士就画符.解释来解释去就是那么死板板的几
句话,连他们自己也没有make sense,教师如此,教科书如此,学生也
只能以葫芦画瓢,难以彻底理解.
下面尝试一下,看看能不能把问题说清楚.

1、极限的英文是limit,它有两个意思,汉语翻译成“极限”,其实是有点误导,
但是我们也没有更合适的词语.这两个意思的第一层是：限制、限定、范围、
极端、最后、、、、等等.譬如我们说人的体能极限,人的寿命极限,人的
身高极限,人跑路速度的极限等等,都是这个意思.我们在这方面强调的过
多,结果给很多学生产生了致命的影响,很多一辈子都跨不过这一道门槛.
举例说明：
A、y = 1/x 的图形,x越来越大,1/x越来越小,会碰到x轴吗?当然不会.
但是很多教师不懂教学心理学,不懂教学法,他们会反反复复强调此图形
“永远不会,永远不会”与x轴重合?需要这么强调吗?这么强调会产生什么
样的心理暗示?会造成什么样逻辑致命伤?他们从来都是眼高手低,不会
去在意这些.鬼子的教学也有类似问题,他们的说法是Never touch,Never
touch,Never touch.问题没有我们严重,至少他们还有理论家,他们还会不
断地提出一个又一个新理论,还会不断地将旧理论推陈出新.而我们呢?
我们没有任何定量理论,我们没有这方面的文化,喜欢质疑的学生会被骂
死,死记硬背的学生最受宠爱.
B、0.9严格等于1吗?当然不对.
0.99严格等于1吗?当然不对.
三个9呢?四个9呢?无限个9呢?
你问一问你周围的人,0.9循环是大概等于1?
还是严格等于1?没有一丝一毫误差?
你一定要强调没有一点点误差,没有丝毫的误差,是绝对的严格的相等.
他们的答复是：近似等于1,还是有一点点的误差.
好!他们全部上了贼船,全部上当!
接下来你问他们九分之一,化成小数是多少,他们毫不犹豫地说0.11.
到这里为止他们还是浑然不觉,不知道上当.
你再问他们两边都乘以9,会怎样?他们依然还是多数人混混噩噩,
他们自己打了自己的耳光还不知道.这就是我们的悲哀,我们的大学生中,
绝大部分是没有研究能力的,问题送到嘴边,他们不但不能领会,还会跟
你死命讲述他们的歪理,拒绝接受.这样的榆木疙瘩学生是主流.
2、上面的两个例子结合起来仔细考虑,你就会发现我们古代虽然有极限概念,
有诡辩学,但是我们把他们当成了荒唐的理论,我们就裹足不前了,落后
就是从极限开始的.极限的第二个含义是tendency,是trend,是approaches,
是goes.因为我们太多的、过多的强调了极限的“限”的含义,我们忽视了极限
的过程,忽视了极限的趋势,我们总是用有限的过程去代替无限的极限过程,
古代文明与西方的齐头并进,就是从这里开始掉队的,迄今我们还是浑然不觉,
还是喜欢自我吹嘘.
3、就是因为tendency我们忽视了,我们就开始落后了.鬼子却在此基础上突飞猛进.
第一个理论就是极限理论,极限理论的第一步就是precise method,我们的翻译
非常夸张,我们翻译为epsilon-delta语言(ε-δ语言).这个方法的实质楼主已经知
道,这是一个辩论的过程,一个争吵的过程,一个无穷列举法化成数学归纳法的
过程.这个归纳的思想跟归纳法是相通的,只是没有用归纳法的三段论方法进行,
而是换了一个数学计算的过程,所以,这是数理逻辑.
辩论是这样的：
我说f(x)最后的结果是f(a),也就是说f(x)与f(a)最后的差值要多小有多小,要小到
什么程度就可以小到什么程度,你给了一个很小很小的数,这个数就是ε.
也就是说,“任意”二字,是指你可以给出任意小的数,是你任意给的,任意小的数.
只要你给得出,我总可以算出一个区间,当我的x,goes到这个去间内,f(x)与f(a)
的差值就可以小于这个ε了.
ε是你给出的,要多小有多小的任意的数.你给出后,我就认认真真地算了一下,
你只要给得出,我就能算得出一个范围,我总能算得出一个范围,这个范围的确定
是根据你的ε算出来的,所以说“存在”,这个存在的范围不是固定的.可能我根据你
ε一下子找不到一个简单的范围,我为了能保证差值小于ε,我可能将你的ε改得更小,
为的只是能解出一个范围,进入了这个范围,f(x)与f(a)的差值更小于ε,总存在是概
念上的问题,能不能找到是解题技巧上的问题.
其实,ε是不需要具体给出的,具体给出的数,就不是任意小了.
这个ε只是论证过程中的一个例子,它可以不断地更改,不断地反悔.所以,这个ε
只是一个原则性的数,有了ε,就能找到一个区间δ,x进入了δ的范围内.我就证明
了f(x)与f(a)的差值的绝对值小于ε了.
而不等式的概念就是我们的f(x)与f(a)的差值必须限制在ε之内.
不清楚,我有没有把问题解释清楚?
加油吧!科学需要质疑!而我们最缺乏的就是质疑精神.
我们这一代已经彻底报废,希望在你们!
欢迎追问.