下面是我对一道题目的解题过程的困惑,请多指教!
问题描述：
下面是我对一道题目的解题过程的困惑,请多指教!
已知集合M=｛x／x=a+b√2,a,b属于Q｝,且x₁属于M,x₂属于M.
⑴试问：x₁· x₂,x₁/x₂是否属于M?为什么?
⑵若将M改为M=｛x／x=a+b√2,a,b属于Z｝,试问：x₁· x₂,x₁/x₂是否属于M?为什么?
下面是解题过程：设x₁=a+b√2,x₂=c+d√2（a,b,c,d属于Q)
则x₁· x₂=（ac+2bd）+（ad+bc）√2
x₁/x₂=（ac-2bd）+（bc-ad）√2除以c²-2d²
⑴因为有理数的和,差,积,商必为有理数,所以x₁· x₂,x₁/x₂仍属于M.
⑵因为整数的和,差,积仍为整数,但商不一定为整数,所以x₁· x₂属于M,x₁/x₂不一定属于M.
—————————我 的 困 惑—————————————
①为什么解题一开始就要把x₁· x₂和x₁/x₂化成了另一种形式,这与后面的解题看似好像毫无关系?
②√2难道不是无理数吗,怎么⑴中说的是有理数,我想不明白a+b√2怎么会是有理数?
③类似于②中的困惑,√2是无理数,a+b√2怎么会是整数呢?
答
是这样的,原式是X=a+b√2
就是说只要X符合这个条件,就属于M
而以上的步骤就是求证X1*X2,和X1/X2是否符合这个条件.
由于上式中a.b为有理数.所以ac+2bd和ad+bc属于有理数（有理数的和,差,积,商必为有理数）,所以两个式子仍然属于M
你的问题2,是这样的.这里和√2没有关系.√2是已经确定的数值,是不会变的.我们求的只是变量和原式的关系.即上面说的,只要求证式子变化后a和b的数值满足有理数即可,和根号2无关
总之上面说的有理数不是X,而是A B的值（a,b属于Q）