已知二次函数y=x^2-(m^2+4)x-2m^2-12求证不论m取什么实数时,抛物线都过一定点,并求出定点坐标m取什么实数时,抛物线与x轴两个交点的距离最小?最小值是多少

问题描述:

已知二次函数y=x^2-(m^2+4)x-2m^2-12
求证不论m取什么实数时,抛物线都过一定点,并求出定点坐标
m取什么实数时,抛物线与x轴两个交点的距离最小?最小值是多少

(1)因为y=x^2-(m^2+4)x-2m^2-12
y=x^2-4x-12-m^2(x+2)
抛物线都过一定点,即与m的取值无关,故x+2=0,所以:x=-2,此时y=0
故定点坐标为(-2,0)
(2)设二次函数y=x^2-(m^2+4)x-2m^2-12 的图像与x轴的交点坐标为(x1,0)和(x2,0),且:x2>x1,则抛物线与x轴两个交点的距离为x2-x1
又x1、x2可以看作x^2-(m^2+4)x-2m^2-12 =0的两个实数根,即(x-m^2-6)(x+2)=0
即:x1=-2 x2=m^2+6
故:x2-x1=m^2+8 故抛物线与x轴两个交点的距离最小值为8.此时m=0