已知函数f(x)=mx/2+(m-2)/2x(m>0)
已知函数f(x)=mx/2+(m-2)/2x(m>0)
(1)若f(x)≥lnx+m-1在[1,+∞)上恒成立,求m的取值范围,
(2)2ln2+3ln3+……+nlnn≤(2n^3+3n^2-5n)/12 (n∈N+)
第(1)题已经做出来啦,只需要第(2)题.
当n=1时,左边=1 ln1=0,右边=(2+3-5)/12=0,原不等式成立。
假设当n=k (k∈N+)时,原不等式成立,
即2ln2+3ln3+……+k lnk≤(2k³+3k²-5k)/12=k(k-1)(2k+5)/12 (k∈N+),
那么当n=k+1 (k∈N+)时,
即要证明2ln2+3ln3+……+klnk+(k+1)lnk ≤k(k+1)(2k+7)/12
=(2k³+9k²+7k)/12=(2k³+3k²-5k)/12+(6k²+12k)/12
=(2k³+3k²-5k)/12+(k²+2k)/2,
由2ln2+3ln3+……+k lnk≤(2k³+3k²-5k)/12(k∈N+),
故只要证明(k+1) lnk≤(k²+2k)/2,
但是(k+1) lnk≤(k²+2k)/2怎么证明呢?
楼主你好,
你学过数学归纳法吗?
暗示条件 (n∈N+)
告诉我们用数学归纳法
数学字母再上面不好写的,
但知道用归纳法算,解题时很容易的
望采纳!(2)2ln2+3ln3+……+nlnn≤(2n³+3n²-5n)/12(n∈N+)这个如果用数学归纳法好像也做不了啊。当n=k+1 (k∈N+)时,故只要证明(k+1) ln(k+1)≤(k²+2k)/2, 但是(k+1) ln(k+1)≤(k²+2k)/2怎么证啊?抱歉,昨天忘看了 (k+1) ln(k+1)≤(k²+2k)/2 移向,(k²+2k)/2-(k+1) ln(k+1)≥0 令Y=(k²+2k)/2-(k+1) ln(k+1) Y丿=In((e^k)/(k+1)) 在k≥2时,e^k>k+1>0(说的不严谨,想清楚的话就二次求导,证明e^k-(k+1)>0恒成立) 也就是Y=……在k≥2单增 Y最小=Y(k=2)=In((e^4)/27)>0 ∴Y=……在k≥2时,Y>0恒成立 即(k+1) ln(k+1)≤(k²+2k)/2Y丿什么意思啊?从下面开始看不懂啦?Y丿=In((e^k)/(k+1)) 在k≥2时,e^k>k+1>0(说的不严谨,想清楚的话就二次求导,证明e^k-(k+1)>0恒成立) 也就是Y=……在k≥2单增 Y最小=Y(k=2)=In((e^4)/27)>0 ∴Y=……在k≥2时,Y>0恒成立 即(k+1) ln(k+1)≤(k²+2k)/2忘了说了,你学过导数吗,这是Y的导数