已知函数f(x)=x|x-2|.(1)写出f(x)的单调区间;(2)解不等式f(x)<3.

问题描述:

已知函数f(x)=x|x-2|.
(1)写出f(x)的单调区间;
(2)解不等式f(x)<3.

(1)∵f(x)=x|x-2|=

x2−2x (x≥2)
x2+2x(x<2)

∴f(x)在(-∞,1],[2,+∞)上单调递增,在[1,2]上单调递减,
∴f(x)的增区间为(-∞,1],[2,+∞);减区间为[1,2];
(2)若x≥2,f(x)<3⇔x2-2x<3,解得2≤x<3;
若x<2,f(x)<3⇔-x2+2x<3,即x2-2x+3=(x-1)2+2>0恒成立,
∴x<2满足题意.
综上所述,不等式f(x)<3的解集为{x|x<3}.
答案解析:(1)由f(x)=x|x-2|=
x2−2x (x≥2)
x2+2x(x<2)
即可写出f(x)的单调区间;
(2)对x分x≥2与x<2分别解不等式f(x)<3,取两者的并集即可.
考试点:带绝对值的函数;函数的单调性及单调区间;一元二次不等式的应用.
知识点:本题考查带绝对值的函数,关键是通过分类讨论去绝对值符号,着重考查二次函数的性质及应用,属于中档题.