若OC是∠MON的平分线,PA垂直ON,PB垂直OM,求证OA=OB和∠PAB=∠PBA

题目给出的条件少了一个： 点P在OC上，否则不能一定证明OA=OB,和∠PAB=∠PBA, 先加入点P在OC上，∵点P在∠MON的平分线上，∴点P到OM的垂线段就是PB，到OM的垂线段就是PA, 根据角平分线上得点到角两边的距离相等的定理，可知△PAO≌△PBO (PO=PO,∠POA=∠POB,∠PAO=∠PBO=90° ，符合AAS ),∴OA=OB, ∵PA=PB,∴∠PAB=∠PBA（等边对等角）

因为OC是∠MON的平分线
所以∠aop=∠nop
因为PA垂直ON，PB垂直OM
所以∠pao=∠pbo=90°
证三角baop和三角onp全等
oa=ob pa=pn

角平分线上的点到角两边的距离相等（定理）
因为 PA垂直于ON,PB垂直OM
所以 角OBP等于角OAP等于九十度
因为 OC为平分线
所以 角POB 等于角POA
OP为公共边
所以 三角形OBP全等于三角形OAP
所以AP等于BP
所以∠PAB=∠PBA