问题描述:
铁路转弯处的弯道半径r是根据地形决定的.弯道处要求外轨比内轨高,其内外轨高度差h的设计不仅与r有关,还取决于火车在弯道上的行驶速率.下图表格中是铁路设计人员技术手册中弯道半径r及与之对应的轨道的高度差h.
弯道半径r/m | 660 | 330 | 220 | 165 | 132 | 110 |
内外轨高度差h/mm | 50 | 100 | 150 | 200 | 250 | 300 |
(1)根据表中数据,试导出h和r关系的表达式,并求出当r=440m时,h的设计值;
(2)铁路建成后,火车通过弯道时,为保证绝对安全,要求内外轨道均不向车轮施加侧向压力,又已知我国铁路内外轨的间距设计值为L=1435mm,结合表中数据,算出我国火车的转弯速率v(以km/h为单位,结果取整数;路轨倾角很小时,正弦值按正切值处理)
(3)随着人们生活节奏加快,对交通运输的快捷提出了更高的要求.为了提高运输力,国家对铁路不断进行提速,这就要求铁路转弯速率也需要提高.请根据上述计算原理和上述表格分析提速时应采取怎样的有效措施?
答
(1)分析表中数据可得,每组的h与r之乘积均等于常数
C=660m×50×10-3m=33m2
因此 h•r=33(或h=33) ①
当r=440m时,有:
h=m=0.075m=75mm
(2)转弯中,当内外轨对车轮没有侧向压力时,火车的受力如图所示.由牛顿第二定律得:mgtanθ=m ②
因为θ很小,有:tanθ≈sinθ= ③
由②,③可得:v= ④
代入数据得:v=15m/s=54km/h
(3)由④式可知,可采取的有效措施有:
a.适当增大内外轨的高度差h;
b.适当增大铁路弯道的轨道半径r.
答:(1)当r=440m时,h的设计值为75mm;
(2)我国火车的转弯速率v为54km/h;
(3)为了提速应采取的措施有:a.适当增大内外轨的高度差h;b.适当增大铁路弯道的轨道半径r.
答案解析:(1)由于660×50=330×100=220×150为定值即hr=33m2,故可以求出当r=440m时h的设计值;
(2)因为火车运动的轨迹圆沿水平方向,转弯中,当内外轨对车轮没有侧向压力时,轨道的支持力在竖直方向的分力平衡重力,在水平方向的分力恰好提供向心力,故有mgtanθ=m,再根据当θ很小,有:tanθ≈sinθ=,即可求出火车转弯的速率v.
(3)根据(2)中速率v的表达式即可找到可采取的有效措施.
考试点:牛顿第二定律;向心力.
知识点:轨道的支持力在竖直方向的分力平衡重力,在水平方向的分力提供向心力,一定不能沿斜面和垂直于斜面分解重力,因为火车运动的轨迹圆沿水平方向而不是沿斜面方向.