一道怪题,我从没碰到过考察所有可能的这样的抛物线,y=x²+ax-b²:它们同坐标轴各有3个不同的交点,对于每一条这样的抛物线,过其与坐标轴的3个交点作圆.证明:所有的这些圆周经过同一定点.
问题描述：
一道怪题,我从没碰到过
考察所有可能的这样的抛物线,y=x²+ax-b²:它们同坐标轴各有3个不同的交点,对于每一条这样的抛物线,过其与坐标轴的3个交点作圆.证明:所有的这些圆周经过同一定点.
答
证明：依题意的，抛物线与y轴相交于C时，x＝0，解得y＝—b2 与x轴相交于AB时，y＝0，解得 x1=？x2=?（自己解吧）
然后算出AB=?
BC=?
AC=?(自己算吧)
因为AB,AC,BC符合勾股定理
所以3点在一圆上
答
简单分析了一下，好象这题有问题。对a，b没有限制么？
我做了几个特例，看了一下，设a=0，b取1，2，3，得出结果是过点（0，1）
如是在a=0时，则可以这样来证：
设圆心为（0，y）则：(b*b-y)(b*b-y)=y*y+b*b
解得：b*b-2y-1=0
而此圆与y轴交点纵坐标为：b*b-y-y，由上式得：此纵坐标为（0，1），从而得证。
若a不为零，则：应该过点（-a/2，1）
答
设抛物线与x轴交于A、B两点,与y轴负半轴于C点
由韦达定理,│OA│*│OB│=│OC│
圆与y轴正半轴交于D点,由相交弦定理
│OA│*│OB│=│OC│*│OD│
得│OD│=1
所以圆恒过定点（0,1）
得证.