跳绳时,绳甩到最高处时的形状是抛物线.正在甩绳的甲、乙两名同学拿绳的手间距AB为6米,到地面的距离AO和BD均为0.9米,身高为1.4米的小丽站在距点O的水平距离为1米的点F处,绳子甩到最高处时刚好通过她的头顶点E.以点O为原点建立如图所示的平面直角坐标系,设此抛物线的解析式为y=ax2+bx+0.9.(1)求该抛物线的解析式;(2)如果小华站在OD之间,且离点O的距离为3米,当绳子甩到最高处时刚好通过他的头顶,请你算出小华的身高;(3)如果身高为1.4米的小丽站在OD之间,且离点O的距离为t米,绳子甩到最高处时超过她的头顶,请结合图象,写出t的取值范围______.

问题描述:

跳绳时,绳甩到最高处时的形状是抛物线.正在甩绳的甲、乙两名同学拿绳的手间距AB为6米,到地面的距离AO和BD均为0.9米,身高为1.4米的小丽站在距点O的水平距离为1米的点F处,绳子甩到最高处时刚好通过她的头顶点E.以点O为原点建立如图所示的平面直角坐标系,设此抛物线的解析式为y=ax2+bx+0.9.
(1)求该抛物线的解析式;
(2)如果小华站在OD之间,且离点O的距离为3米,当绳子甩到最高处时刚好通过他的头顶,请你算出小华的身高;
(3)如果身高为1.4米的小丽站在OD之间,且离点O的距离为t米,绳子甩到最高处时超过她的头顶,请结合图象,写出t的取值范围______.

(1)由题意得点E(1,1.4),B(6,0.9),代入y=ax2+bx+0.9得

a+b+0.9=1.4
36a+6b+0.9=0.9

解得
a=−0.1
b=0.6

∴所求的抛物线的解析式是
y=-0.1x2+0.6x+0.9;
(2)把x=3代入y=-0.1x2+0.6x+0.9得
y=-0.1×32+0.6×3+0.9=1.8
∴小华的身高是1.8米;
(3)当y=1.4时,-0.1x2+0.6x+0.9=1.4,
解得x1=1,x2=5,
∴1<t<5.
答案解析:(1)已知抛物线解析式,求其中的待定系数,选定抛物线上两点E(1,1.4),B(6,0.9)坐标代入即可;
(2)小华站在OD之间,且离点O的距离为3米,即OF=3,求当x=3时,函数值;
(3)实质上就是求y=1.4时,对应的x的两个值,就是t的取值范围.
考试点:二次函数的应用.
知识点:本题考查点的坐标的求法及二次函数的实际应用.此题为数学建模题,借助二次函数解决实际问题.