两个数的乘积等于其最大公约数与最小公倍数的乘积,怎么证明?
问题描述：
两个数的乘积等于其最大公约数与最小公倍数的乘积,怎么证明?
答
设两个数分别为A与B，最大公约数为Z，最小公倍数为Y。
那么设 A/Z=a（1），B/Z=b（2）（a与b互为质数）
根据最小公倍数定义Y/A=b（3）,Y/B=a（4）
式（1）与（2）等号两边分别相乘得A*B/Z/Z=ab(5)
（3）代入（4）等号两边分别相乘得Y*Y/A/B=ab(6)
将（5）代入（6）得A*B/Z/Z=Y*Y/A/B
根据相关移向得A*A*B*B=Z*Z*Y*Y
两边开方得A*B=Y*Z
希望对你有用。（以前的东西忘的差不多）
答
这两数记为A,B，设gcd(A,B)=d, 那么存在整数a=A/d,b=B/d, gcd(a,b)=1
lcm(A,B)=lcm(ad,bd)=d.lcm(a,b)=dab
gcd(A,B).lcm(A,B)=d.dab=da.db=AB
答
设两个数为x和y,其最大公约数为a,则
最小公倍数为(x/a)*(y/a)*a=xy/a,
最大公约数和最小公倍数的乘积为xy/a*a=xy
得证