附加题(必做题)在0,1,2,3,…,9这十个自然数中,任取3个不同的数字.(1)求组成的三位数中是3的倍数的有多少个?(2)将取出的三个数字按从小到大的顺序排列,设ξ为三个数字中相邻自然数的组数(例如:若取出的三个数字为0,1,2,则相邻的组为0,1和1,2,此时ξ的值是2),求随机变量ξ的分布列及其数学期望Eξ.

问题描述:

附加题(必做题)
在0,1,2,3,…,9这十个自然数中,任取3个不同的数字.
(1)求组成的三位数中是3的倍数的有多少个?
(2)将取出的三个数字按从小到大的顺序排列,设ξ为三个数字中相邻自然数的组数(例如:若取出的三个数字为0,1,2,则相邻的组为0,1和1,2,此时ξ的值是2),求随机变量ξ的分布列及其数学期望Eξ.

(1)要想组成的三位数能被3整除,把0,1,2,3,…,9
这十个自然数中分为三组:0,3,6,9;1,4,7;2,5,8.
若每组中各取一个数,含0,共有C31C31C21A22=36种;
若每组中各取一个数不含0,共有C31C31C31A33=162种;
若从每组中各取三个数,共有3A33+C32A22A22=30种.
所以组成的三位数能被3整除,共有36+162+30=228种.…(6分)
(2)随机变量ξ的取值为0,1,2,
P(ξ=2)=

8
C
3
10
=
1
15

P(ξ=1)=
2(7+6+5+4+3+2+1)
C
3
10
=
7
15

P(ξ=0)=1-P(ξ=1)-P(ξ=2)=1-
1
15
-
7
15
=
7
15

ξ的分布列为:
ξ 0 1 2
P
7
15
7
15
1
15
所以ξ的数学期望为Eξ=0×
7
15
+1×
7
15
+2×
1
15
=
3
5
.…(10分)
答案解析:(1)要想组成的三位数能被3整除,把0,1,2,3,…,9这十个自然数中分为三组:0,3,6,9;1,4,7;2,5,8.求出每组中各取一个数,含0,与每组中各取一个数不含0以及从每组中各取三个数的所求可能,相加即可;、(2)随机变量ξ的取值为0,1,2,然后根据等可能事件的概率公式求出相应的概率,得到ξ的分布列,最后利用数学期望公式解之即可.
考试点:离散型随机变量的期望与方差;等可能事件的概率;排列、组合及简单计数问题.

知识点:本题主要考查了等可能事件的概率,以及离散型随机变量的分布列和数学期望,同时考查了分类讨论的数学思想和计算能力,属于中档题.