关于捕鱼游戏的概率题
关于捕鱼游戏的概率题
假设有一捕鱼游戏,炮弹分五级.一级炮消耗一元,捕获鱼的概率为0.1；二级炮消耗两元,捕获鱼的概率为0.2；三级炮消耗三元,捕获鱼的概率为0.3；四级炮消耗四元,捕获鱼的概率为0.4；五级炮消耗五元,捕获鱼的概率为0.5.
1.现在要捕一条鱼：
（1） 假设共有10元,那么不同组合所取得的捕获概率是否相同?若相同请给出证明；若不同则求出最佳搭配.
（2） 若这条鱼的价值为10元,即捕获后可获得10元,那么怎样取得最大收益?（现有资金不限）
（3） 如果（1）问计算得到不同组合间概率不同,那么若改变各等级炮捕获鱼的概率是否可能令各组合所取得的概率相同?若可行请给出证明,若不可行请阐明原因.（如（1）问计算所得不同组合捕获概率相同,此问可不作答.）
（4） 设共有n元,请写出可取得最大捕获概率的捕鱼方式并给出证明与最大概率.
（5） 若这条鱼价值n元,且资金无上限,那么如何取得最大收益?
（1）不同组合的概率不同.
先考虑一级炮.未捕获的概率为0.9.2元一级炮未捕获概率为0.9*0.9=0.81,大于2元的二级跑未捕获概率0.8.则花2元用两次一级炮不如花2元用一次二级炮.花3元一级炮二级炮各一次未捕获概率为0.9*0.8=0.72大于3元的三级炮未捕获概率0.7.则花3元的最佳选择为用一次三级炮.花4元一级炮三级炮各一次未捕获概率为0.9*0.7=0.63大于3元的四级炮未捕获概率0.6.则花4元的最佳选择为用一次四级炮.花5元一级炮四级炮各一次未捕获概率为0.9*0.6=0.54大于5元的五级炮未捕获概率0.5.则花5元的最佳选择为用一次五级炮.如此,可以选择二、三、四、五级炮时一定不选择一级炮.
在不考虑一级炮的情况下再考虑二级炮,类似上面可以得到结论：可以选择三、四、五级炮时一定不选择二级炮.
同理,可以选择四、五级炮时一定不选择三级炮；可以选择五级炮时一定不选择四级炮.
则有10元应选择两次五级炮,如此捕获概率为1-0.5*0.5=0.75
（2）在这条鱼价值为10元的情况下,
投资一级炮的期望收益为0.9*（-1）+0.1*（10-1）=0
投资二级炮的期望收益为0.8*（-2）+0.2*（10-2）=0
投资三级炮的期望收益为0.7*（-3）+0.3*（10-3）=0
投资四级炮的期望收益为0.6*（-4）+0.4*（10-4）=0
投资五级炮的期望收益为0.5*（-5）+0.5*（10-5）=0
所以无论如何选择,期望收益都为0.且不论如何组合,期望收益不会改变.但是不同组合的方差不一样.可以计算得到在投资相同的前提下,选择捕获概率较小的炮次数越多,方差越大.所以,投资的风险越大,但可能的实际收益也越大.每个人可以根据自己的实际情况进行抉择.
（3）设一二三四五级炮的未捕获概率分别为p1,p2,p3,p4,p5,若要各组合所取得的概率相同,则需要满足：
p1^2=p2,p1^3=p3,p1^4=p4,p1^5=p5
例如,一级炮的未捕获概率为0.9,则二三四五级炮的未捕获概率须分别改变为0.81, 0.729, 0.6561, 0.59049,如此则可.
证明：设使用一二三四五级炮的次数分别为n1,n2,n3,n4,n5
设投资资金为N=n1+2*n2+3*n3+4*n4+5*n5（n1,n2,n3,n4,n5为自然数）
则未捕获概率为P=p1^n1*p2^n2*p3^n3*p4^n4*p5^n5
=p1^n1*p1^(2*n2)*p1^(3*n3)*p1^(4*n4)*p1^(5*n5)
=p1^(n1+2*n2+3*n3+4*n4+5*n5)=p1^N
则未捕获概率只与投资总量有关,与各等级炮的组合无关.投资资金一定时,各组合概率相同
（4）
由（1）可知,当1