如图1,Rt△ABC中,∠A=90°,tanB=3/4,点P在线段AB上运动,点Q、R分别在线段BC、AC上,且使得四边形APQR是矩形.设AP的长为x,矩形APQR的面积为y,已知y是x的函数,其图象是过点(12,36)的抛

问题描述:

如图1,Rt△ABC中,∠A=90°,tanB=

3
4
,点P在线段AB上运动,点Q、R分别在线段BC、AC上,且使得四边形APQR是矩形.设AP的长为x,矩形APQR的面积为y,已知y是x的函数,其图象是过点(12,36)的抛物线的一部分(如图2所示).

(1)求AB的长;
(2)当AP为何值时,矩形APQR的面积最大,并求出最大值.
为了解决这个问题,孔明和研究性学习小组的同学作了如下讨论:
张明:图2中的抛物线过点(12,36)在图1中表示什么呢?
李明:因为抛物线上的点(x,y)是表示图1中AP的长与矩形APQR面积的对应关系,那么,(12,36)表示当AP=12时,AP的长与矩形APQR面积的对应关系.
赵明:对,我知道纵坐标36是什么意思了!
孔明:哦,这样就可以算出AB,这个问题就可以解决了.请根据上述对话,帮他们解答这个问题.

(1)当AP=12时,AP•PQ=36,
∴PQ=3,
又在Rt△BPQ中,tanB=

3
4

PQ
PB
3
4

∴PB=4.
∴AB=16.
(2)若AP=x,则PB=16-x,PQ=
3
4
(16-x),
∴y=
3
4
(16-x)x,
整理得y=-
3
4
(x-8)2+48.
∴当x=8时,y最大值=48.