设A为半正定矩阵且A不为0,证明⑴|A+E|＞1 ⑵若B为正定Hermit矩阵,证明：|A+B|＞|B|
问题描述：
设A为半正定矩阵且A不为0,证明⑴|A+E|＞1 ⑵若B为正定Hermit矩阵,证明：|A+B|＞|B|
答
设A为半正定矩阵且A不为0,===》A的特征值都不小于0,且不全为0
===》A+E的特征值都不小于1,且不全为1===》|A+E|＞1
⑵若B为正定Hermit矩阵,《====》B=PP^T.,P^{-1}AP^T^{-1}半正定.
|A+B|=|A+PP^T|=|P| |P^{-1}AP^T^{-1}+E| |P^T|=|B||P^{-1}AP^T^{-1}+E|
＞|B|