非欧几何创立过程的启示意义

非欧几何发展简史及其启示
几何学的发源可以追溯的古埃及,几何学的本意是测量的意思,它是古埃及人
进行土
地测量时的各种经验成果的总结.“据希腊历史学家Herodotus说,埃及是因为尼罗河每
年
涨水后需要重定农民土地的边界才产生几何的.” 古希腊人继承和发展了古埃及的几何
学
,爱奥尼亚学派的领袖和创立人泰勒斯（Thales）和他的学生毕达哥拉斯（Pythagoras
）
等著名的哲学家和数学家用演绎法将古埃及的“试验几何学”改造为“推理几何学”,
晚期的
毕达哥拉斯学派（公元前400年左右）已要求数学结果应当根据明白规定的公理用演绎法
推出.欧几里得（Euclid BC330-BC275）集几何学之大成,将前人分散的几何学成果概
括总结加以系统化,写成了《几何原本》这部影响历史的著作.《几何原本》共十三卷
,
其中五卷为平面几何,五卷为立体几何,三卷为数和比例.欧几里得几何学是科学史上
第
一个公理化演绎系统,欧几里得从二十三个名词定义、五条公理（一切科学所共有的真
理
）、五条公设（只是为某一门科学所接受的第一性原理）,共推导出467条定理.《几何
原本》虽然是前人成果的概括总结,“但整部书的陈述方式——一开头就摆出所有的公
理,
明确提出所有的定义,和有条不紊的一系列定理——这是欧几里得所独创的,此外,定
理
的几何原本》的证明有一些遗漏和错误,并且在论证过程中引入了很多没有提出的假定
,
这些假定是因为在图形上看或直观上显然的事实而无意中用上去的.另外,欧几里得时
代
并不十分看重演绎推理,“事实上,希腊人对于从简单演绎法得出的命题是不很看得起
的.
希腊人把那些能从定理直接推出的结果称作系或衍论.Proclus把这种无需非多大力气得
出
的结果陈作横财或红利.”
《几何原本》中的公设五是欧几里得自己提出的,它的内容是“若一直线与两直线相
交
,且若同侧所交两内角之和小于两直角,则两直线无限延长后必相交于该侧的一点.”
（If a straight line falling on two straight lines makes the interior angles
onthe same side less than two right angles, the two straight lines, if
producedindefinitely, meet on that side
on which the angles are less than the two right angles. ） 这一公设引起了广泛
的讨论,
因为它不如其他公理、公设那样简明,欧几里得本人也不满意这条公设,他在证完了所
有
不需要平行公设的定理后才使用它.两千多年来数学家们始终对这条公设耿耿于怀,孜
孜
不倦的试图解决这个问题,数学家们主要沿两条研究途径前进：一条途径是寻找一条更
为
自明的命题代替平行公设；另一条途径是试图从其他九条公理、公设推导出平行公设来
.
但十八世纪以前的两千一百年的历史中,平行公设的研究似乎没有什么进展,以至于一
些
数学家很沮丧,“寻求另一个可接受的公理一替代Euclid公理,或者证明Euclid断言必
然是
一个定理,做这种工作的人是如此之多,又是如此徒劳无功,使得1759年d`Alembert把
平
行公理问题称之为‘几何原理中的家丑’”.
沿第一条途径找到的第五公设最简单的表述是1795年普雷菲尔（Joseph
Fenn1748-
1819）给出的：“通过不再直线L上的一给定点P,在P与L的平面上,只有一条直线不与L
相
交.”我们今天中学课本里使用的公理“过直线外一点,有且只有一条直线与原直线平
行”
就来源于此.
沿第二条途径,数学家尝试用直接法和间接法两种方法来证明第五公设.1733
年,意
大利数学家萨克里（Gerolamo Saccheri1667-1733）出版了《欧几里得无懈可击》（E
uclid
ab Omni Naevo Vindicatus）一书,提出用归谬法证明第五公设,萨克里从四边形ABCD
开
始,如果角A和角B是直角,且AC=BD,容易证明角C等于角D.这样第五公设便等价于角
C和角D是直角这个论断.萨克里提出两个假设：
1、 钝角假设：角C和角D都是钝角.
2、 锐角假设：角C和角D都是锐角.
萨克里自认为这两个假设并用其他九条公里、公设可以导出矛盾,于是就证明
了第五
公设.实际上萨克里的证明过于冗长,不自觉的引入了与第五公设等价的其他假设；或
得
出的结论只是与经验不符,并未得出矛盾.但萨克里的研究为后人提供了帮助,其后J.
兰
伯特（Lambert）、F.K.施魏卡特(Schweikart)和F.A.托里努斯(Taurinus)等人得出结论
,第
五公设不能证明,即它与其他九条公理、公设相互独立；并且注意到,球面上的几何具
有
以钝角假设为基础的几何性质,虚半径球面具有以锐角假设为基础的几何性质.这种结
论
已非常接近非欧几何了.
在前人的基础上,高斯（Gauss 1777-1855）、鲍耶（Bolyai 1802-1860）、罗
巴切
夫斯基（Lobatchevsky 1793-1856）三人都独立地发现了非欧几何（双曲线几何学）,
后
两人被认为是非欧几何的创建者,他们都公开发表了自己的论文,而高斯并没有写出过
完
整的推导.由于罗巴切夫斯基一生都为使非欧几何得到承认而努力,为了纪念罗巴切夫
斯
基对发展几何学所做出的贡献,这种非欧几何学被称为罗巴切夫斯基几何学.1854年,
G.F.B.黎曼又建立了另一种形式的非欧几何,即黎曼几何.今天学习非欧几何并不特别
困
难,由于第五公设是独立的,因此选取与第五公设相矛盾的公理可以建立逻辑上相容的
几
何,这种几何就是非欧几何.它有两种形式,如果用“过直线外一点至少可以引两条直
线平
行于已知直线”这个命题代替第五公设,就可得到罗巴切夫斯基几何,即双曲几何；如
果用
“过直线外一点不存在平行于已知直线的直线”这个命题代替第五公设,就可得到黎曼
几何,
即椭圆几何.

从欧几里得几何学到非欧几何学经历了两千多年的历史,人类也从古代进入了
近现代
,这里有一个非常有趣的问题：如果欧几里得复活,他能理解非欧几何吗?我们可以注
意
到欧几里得几何学是从经验上升的理论的,是从现实原型中抽象出来的,从测量土地到
比
较成熟的欧几里得几何学,这一过程经历了比从欧几里得几何学到非欧几何学还要长的
历
史（古埃及在公元前3000年左右就产生了数学,现存的最早的古埃及数学文件是公元前1
7
00左右的草片文书）.今天似乎有一种意见,数学仅仅是一种符号的演算,其中并没有
物
理的意义,但是,非欧几何的发展史却告诉我们,非欧几何之所以诞生,是因为数学家
在
寻找几何公理的物理意义中产生的,“对于这个公理的考虑是基于这样的事实,即它作
为
一个公理,应该是不证自明的真理,因为几何公理是我们关于物质空间的基本事实而且
数
学的和物理学的广大分支都使用欧几里得几何的性质,数学家都想确知他们依赖于真理
.
换言之,平行公理的问题不仅是真正的物理问题,而且是所有能有的基本的物理问题.
”从
这个意义上说,从埃及到欧几里的几何学,再到非欧几何学,其本质并未改变.