二阶微分方程验证y1=cos(wx)及y2=sin(wx)都是微分方程y'' + w^2y = 0的解,并写出该方程的通解.

将y1=cos(wx)代入有;
dy1=-wsin(wx)
d^2y1=-w^2cos(wx)
所以
y''+w^2y
=-w^2cos(wx)+w^2cos(wx)
=0
所以是方程解
将y2=sin(wx)代入
dy2=wcos(wx)
d^2y2=-w^2sin(wx)
所以
y''+w^2y
=-w^2sin(wx)+w^2sin(wx)
=0
所以也是方程的解
很容易知道函数y1和函数y2是线性无关的,可由朗斯基行列式得到:
所以方程的通解是;
y=C1cos(wx)+C2sin(wx)
(C1,C2是常数)