已知四棱柱ABCD—A1B1C1D1中,底面边长AB=2,侧棱BB1的长为4,过点B作B1C的垂线交侧棱CC1于点E,交B1C于F.求证A1C⊥BDE;求A1B于平面BDE所成角的正弦值

问题描述:

已知四棱柱ABCD—A1B1C1D1中,底面边长AB=2,侧棱BB1的长为4,过点B作B1C的垂线交侧棱CC1于点E,交B1C于
F.求证A1C⊥BDE;求A1B于平面BDE所成角的正弦值

(Ⅰ)D(0,0,0),A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),A1(2,0,4),B1(2,2,4),
C1(0,2,4),D1(0,0,4)
设E(0,2,t),则 BE =(-2,0,t), B1C =(-2,0,-4).
∵BE⊥B1C,
∴ BE • B1C =4+0-4t=0.
∴t=1.
∴E(0,2,1), BE =(-2,0,1).
∵ A1C =(-2,2,-4), DB =(2,2,0),
∴ A1C • BE =4+0-4=0且 A1C • DB =-4+4+0=0,
∴ A1C ⊥ BD 且 A1C ⊥ BE ,
∴ A1C ⊥平面BDE. (Ⅱ)由(Ⅰ)知 A1C =(-2,2,-4)是平面BDE的一个法向量,
∵ A1B =(0,2,-4),
∴cos〈 A1C , A1B >= A1C • A1B | A1C || A1B | =√30/6
∴A1B与平面BDE所成角的正弦值为 √30/ 6 . (为什么我的答案没人采取⊙﹏⊙b汗)

以C点为原点确定空间直角坐标系 标出各点坐标 求出A1B、A1C向量和BDE的法向量n  向量A1C*n=0   第一题可证出  A1B向量与面BDE的发向量n的夹角余弦(正值)  就是第二题所要求的  本题是敝人在手机上写...