设函数f(x)=alnx-bx^2.当b=0时,若不等式f(x)大于或等于m+x对所有的a属于[0,3/2],x属于(1,e^2]都成立,实数m的取值范围?
问题描述：
设函数f(x)=alnx-bx^2.当b=0时,若不等式f(x)大于或等于m+x对所有的a属于[0,3/2],x属于(1,e^2]都成立,实数m的取值范围?
答
b=0时,f(x)=alnx,
令g(x)=f(x)-x-m=alnx -x-m
要使 g(x)≥0对于x∈(1,e²］都成立,只须最小值 [g(x)]min≥0.
g'(x)=a/x-1,
(1)当 0≤a≤1时,由于x>1,所以 g'(a)≤0,从而 g(x)在(1,e²]是减函数,
所以 gmin=g(e²)=2a-e²-m
(2)当 1当1
当a
因为g(1)>g(e²)
所以gmin=g(e²)=2a-e²-m
g(x)≥0对于x∈(1,e²］都成立,只须g(e²)≥0.
2a-e²-m≥0
即 m≤2a-e²,对于a∈[0,3/2］都成立
所以m≤-e²