设a,b是两个不相等的非零向量,且|a|=|b|=|a-b|,求向量a与向量a+b的夹角.
问题描述：
设a,b是两个不相等的非零向量,且|a|=|b|=|a-b|,求向量a与向量a+b的夹角.
答
|a-b|^2=a^2-2ab+b^2=|a|^2=|b|^2
即 2ab= a^2=b^2
|a+b|^2=a^2+2ab+b^2=3a^2
则|a+b| = √3|a|
a*(a+b)=|a||a+b|cos夹角
a^2+ab=3a^2/2=√3a^2cos夹角
cos夹角 = √3/2
则夹角为 30°
答
a²＝b²＝（a-b）²＝a²+b²-2ab ＝2a²-2ab ∴2ab＝a²
cos＜a,a+b＞＝a•（a+b）/|a||a+b|
a•（a+b）＝a²+ab＝a²+a²/2＝3a²/2
（a+b）²＝3a² ∴|a||a+b|＝√3a²
cos＜a,a+b＞＝（3/2）/√3＝√3/2 ＜a,a+b＞＝30º