如图,小岛A在港口P的南偏西45°方向,距离港口81海里处.甲船从A出发,沿AP方向以9海里/时的速度驶向港口,乙船从港口P出发,沿南偏东60°方向,以18海里/时的速度驶离港口,现两船同时出发.(1)出发后几小时两船与港口P的距离相等;(2)出发后几小时乙船在甲船的正东方向?(结果精确到0.1小时)(参考数据:2≈1.41,3≈1.73)

问题描述:

如图,小岛A在港口P的南偏西45°方向,距离港口81海里处.甲船从A出发,沿AP方向以9海里/时的速度驶向港口,乙船从港口P出发,沿南偏东60°方向,以18海里/时的速度驶离港口,现两船同时出发.

(1)出发后几小时两船与港口P的距离相等;
(2)出发后几小时乙船在甲船的正东方向?(结果精确到0.1小时)(参考数据:

2
≈1.41,
3
≈1.73)

(1)设出发后x小时两船与港口P的距离相等.
根据题意得81-9x=18x.
解这个方程得x=3.
答:出发后3小时两船与港口P的距离相等.
(2)设出发后y小时乙船在甲船的正东方向,
此时甲、乙两船的位置分别在点C,D处.
连接CD,过点P作PE⊥CD,垂足为E.
则点E在点P的正南方向.
在Rt△CEP中,∠CPE=45°,
∴PE=PC•cos45°.
在Rt△PED中,∠EPD=60°,
∴PE=PD•cos60°.
∴PC•cos45°=PD•cos60°.
∴(81-9y)cos45°=18y•cos60°.
解得y≈3.7.
答:出发后约3.7小时乙船在甲船的正东方向.
答案解析:(1)求几小时后两船与港口的距离相等,可以转化为方程的问题解决.
(2)过点P作PE⊥CD,垂足为E.则点E在点P的正南方向,则得到相等关系,C、D两点到在南北方向上经过的距离相等,因而根据方程就可以解决.
考试点:解直角三角形的应用-方向角问题.
知识点:在船舶运动过程中,构建解直角三角形的问题,考查学生对所学知识的变式认识能力.