关于三重积分计算体积的问题.有个问题：求上,下分别为球面x2+y2+z2=2和抛物面z=x2+y2所围立体的体积.关键是那个积分区间怎么求.我知道可以用柱面坐标求,但是我不知道θ,ρ,z的范围怎么求啊.求详细教学!不仅是这道题,还有这种类似问题的方法,也就是给你几个三元方程找积分区间的方法.
问题描述：
关于三重积分计算体积的问题.
有个问题：求上,下分别为球面x2+y2+z2=2和抛物面z=x2+y2所围立体的体积.关键是那个积分区间怎么求.我知道可以用柱面坐标求,但是我不知道θ,ρ,z的范围怎么求啊.求详细教学!不仅是这道题,还有这种类似问题的方法,也就是给你几个三元方程找积分区间的方法.
答
用平行截面积方法做：
可以把所求体积分成二部分：
用数学方法可以得到二部分的相交曲面是：z+z^2+2=0
故所求体积：
v= ∫（0~1）πzdz+∫（1~√2）π（2-z^2）dz = 1/2πz^2|(0,1)+2π（√2-1）-1/3πz^3|(1,√2）
=（-7/6+4√2/3)π