所有以质数p为分母的最简真分数的和记为m,所有以质数q为分母的最简真分数的和记为n.若mn=48,求m+n的可能值.
问题描述:
所有以质数p为分母的最简真分数的和记为m,所有以质数q为分母的最简真分数的和记为n.若mn=48,求m+n的可能值.
答
因为p为质数,
所以
,1 p
,…,2 p
为最简真分数,p−1 p
所以m=
=1+2+…+(p−1) p
,p−1 2
同理可得n=
,q−1 2
所以(p-1)(q-1)=26×3.
首先,因为上式右端3的因子只有一个,
所以p和q不可能相等,不妨设p>q,
因为26×3=2×96=4×48=8×24=16×12=32×6=3×64,
所以p和q可以是以下情形:
p=97,q=3,对应的m+n=49,
p=17,q=13,对应的m+n=14.
故答案为:49,14.
答案解析:先根据质数的定义得出所有以p、q为分母的真分数的和,再根据mn=48可得到(p-1)(q-1)=26×3,再把26×3进行分解,找出符合条件的p和q,求出对应的m和n的值即可.
考试点:质数与合数;有理数的混合运算.
知识点:本题考查的是质数的定义,即在一个大于1的自然数中,除了1和此整数自身外,没法被其他自然数整除的数叫质数.