均值不等式的疑问x+y+z = pi ,求 sinx+siny+sinz 的最大值这题用和差化积做是(3/2)*根号2,但是如果用均值不等式,sinx+siny+sinz>=3(sinxsinysinz)^(1/3).当x=y=z=pi/3时取等,此时最小值是(3/2)*根号2,这是怎么回事?0
问题描述：
均值不等式的疑问
x+y+z = pi ,求 sinx+siny+sinz 的最大值
这题用和差化积做是(3/2)*根号2,但是如果用均值不等式,sinx+siny+sinz>=3(sinxsinysinz)^(1/3).当x=y=z=pi/3时取等,此时最小值是(3/2)*根号2,这是怎么回事?
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答
均值不等式求最值要满足三个条件：
1、正数。2、右边是常数。3、取得等号
此题条件1,2不满足。
答
sinx+siny+sinz>=3(sinxsinysinz)^(1/3)取等的条件是sinx=siny=sinz，例如x=pi,y=z=0均值不等式也是成立的。均值不等式表达的是代数平均值和几何平均值之间的关系，由于这里的几何平均值是不固定的，所以代数平均值的最小取值是不能通过均值不等式计算的
答
你的问题主要在没有搞清处右边应该为定值.
>=(sinxsinysinz)^(1/3).当x=y=z=pi/3时取等
表面上看是取了定值,但这是不允许的.
比如已知x,y为正数,x^2+y^2=4,求x+y的最大值
(x+y)^2=x^2+y^2+2xy=4+2xy此时可用均值不等式因为x,y可以相等,而且x^2+y^2是一个定值,即已知常数.
同样的,
x+y>=2根号xy
2xy不等号方向相反,又当x=y时可同时取等号,故可将xy=4代入,得x+y>=4(x=y时取到)
此时得xy也是定值、