任给7个实数x(k) (k=1,2,…,7).证明其中有两个数x(i),x(j),满足不等式0≤[x(i)-x(j)]/[1+x(i)*x(j)任给7个实数x(k) (k=1,2,…,7).证明其中有两个数x(i),x(j),满足不等式0≤[x(i)-x(j)]/[1+x(i)*x(j)] ≤1/(根号3).

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任给7个实数x(k) (k=1，2，…，7)且x1>x2>x3>x4>x5>x6>x7
(xi-xj)/(1+xixj)
xi=tga,xj=tgb
tga-tgb=(sinacosb-sinbcosa)/(cosacosb+sinasinb)
=sin(a-b)/cos(a-b)
=tg(a-b)
2kπ≤a-b≤2kπ+π/6
2kπ≤arctan(xi)-arctan(xj)≤2kπ+π/6
0≤(xi-xj)/(1+xixj)≤1/√3
2 取7个实数x(k) (k=1，2，…，7),x1>x2>x3>x4>x5>x6>x7
x1-x6>0假设
(2k1+1)π-π/6>arctan(x1)-arctan(x2)>2k1π+π/6
(2k2+1)π-π/6>arctan(x2)-arctan(x3)>2k2π+π/6
(2k3+1)π-π/6>arctan(x3)-arctan(x4)>2k3π+π/6
(2k4+1)π-π/6>arctan(x4)-arctan(x5)>2k4π+π/6
(2k5+1)π-π/6>arctan(x5)-arctan(x6)>2k5π+π/6
(2k6+1)π-π/6>arctan(x6)-arctan(x7)>2k6π+π/6
则有2kπ+π/6>arctan(x1)-arctan(x6)>2kπ
0≤(x1-x6)/(1+x1x6)≤1/√3
所以任意7个实数中,都可以选出两个实数xi,xj
0≤[x(i)-x(j)]/[1+x(i)*x(j)] ≤1/√3

证明：由于是任意7个实数，可以设该7个数为tan(Yk),0≤Yk≤π，其中tan(Yk)=x（k），
所以x(i)=tanα，x(j)=tanβ
[x(i)-x(j)]/[1+x(i)*x(j) ]=（tanα-tanβ）/(1+tanα*tanβ)=tan（α-β）
要使0≤[x(i)-x(j)]/[1+x(i)*x(j)] ≤1/(根号3).
必有0≤ tan（α-β）≤1/(根号3).
又因为α与β均在[0,π]，所以原命题等价于
在[0，π]上有7个任意角，其中必有两角之差 0 ≤（α-β）≤π/6
[0，π]上有7个任意角将[0，π]最多分成6个部分，相邻两角平均差为(π-0)/6=π/6,
所以该7个角中必有两个角α，β的差小于或等于π/6，
则必有0≤ tan（α-β）≤1/(根号3).
得证。

最简单的证明方法：
因为正切函数y=tan(x)是值域为R的函数,所以总可以找到(-90度,90度)上的7个角度A1,A2,...A7,使得tan(Ai) = x(i).
那么[x(i) - x(j)]/[1+x(i)*x(j)] = [tan(Ai) - tan(Aj)] / [1 + tan(Ai)tan(Aj)] = tan(Ai-Aj)
不妨设Ai>=Aj,因为如果Ai

明：令x(k)=tanα(k) (k ＝l，2，…，7)，α(k)∈(-π/2 ，π/2 )，
则原命题转化为：
证明存在两个实数α(i)，α(j)∈(-π/2 ，π/2 )，满足0≤tan(αi-αj)≤1/(根号3)
由抽屉原则知，α(k) 中必有 4个在[0，π/2 )中或在(-π/2 ，0 )中，不妨设有4个在[0，π/2 )中．注意到tan0＝0，tan(π/6) = 1/(根号3)，而在[[0，π/2 )内，tanx是增函数，故只需证明存在αi，αj，使0αj，则0≤αi-αj ≤π/6 ，故0≤tan(αi-αj)≤1/(根号3).
这样，
与相应的xi=tanαi、xj=tanαj，便有0≤[x(i)-x(j)]/[1+x(i)*x(j)] ≤1/(根号3)