函数f(x)=7x3+2x+1,则不等式f(x)+f(x-1)>2的解集______.

问题描述:

函数f(x)=7x3+2x+1,则不等式f(x)+f(x-1)>2的解集______.

设F(x)=f(x)+f(x-1),
由f′(x)=21x2+2>0,f′(x-1)=21(x-1)2+2>0,
得到F′(x)>0,即F(x)为增函数,
又当x=

1
2
时,F(
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2
)=f(
1
2
)+f(
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2
-1)=7×(
1
2
3+2×
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+1+7×(-
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2
3+2×(-
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)+1=2,
则不等式f(x)+f(x-1)>2的解集为(
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,+∞).
故答案为:(
1
2
,+∞)
答案解析:设F(x)=f(x)+f(x-1),利用求导法则求出F(x)的导函数,根据导函数恒大于0,得到函数F(x)为增函数,再由x=
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2
时,f(
1
2
)+f(
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-1)=2,利用增减性即可得出所求不等式的解集.
考试点:其他不等式的解法.
知识点:此题考查了其他不等式的解法,解决此类问题的关键是正确利用函数的单调性,结合不等式的解法解出x的范围,此知识点是高考考查的重点之一.