一个正整数,如果加上100是一个完全平方数,如果加上168,则是另一个完全平方数,则这个正整数是______.
问题描述:
一个正整数,如果加上100是一个完全平方数,如果加上168,则是另一个完全平方数,则这个正整数是______.
答
设所求的数为n,由题意,得:
n+168=a2…(1)
n+100=b2…(2)
(1)-(2),得:
68=a2-b2=(a+b)(a-b),
由于68=1×68=2×34=4×17,只有三种情况,即:
①a+b=68,a-b=1;
②a+b=34,a-b=2;
③a+b=17,a-b=4;
因为①a与b没有整数解,排除;
②算出a=18,b=16,所以:
n=182-168=162-10=156;
③a与b没有整数解,排除.
综上,只有n=156,即为所求的数.
故答案为:156.
答案解析:根据题意,可设所求的数为n,由题意,得:n+168=a2…(1),n+100=b2…(2),然后用(1)式减去(2)式,得到68=a2-b2=(a+b)(a-b),由于68=1×68=2×34=4×17,只有三种情况,即:①a+b=68,a-b=1;②a+b=34,a-b=2; ③a+b=17,a-b=4;对这三种情况进行讨论,得出答案.
考试点:完全平方数性质.
知识点:先设出要求的数,据题意列出等式,通过分情况探讨、推理,解决问题.