某牛奶公司计划在三栋楼之间建一个取奶站,三栋楼在一条直线上,顺次为A楼、B楼、C楼,其中A楼与B楼之间的距离为40米,B楼与C楼之间的距离为60米、已知A楼每天有20人取奶,B楼每天有70
某牛奶公司计划在三栋楼之间建一个取奶站,三栋楼在一条直线上,顺次为A楼、B楼、C楼,其中A楼与B楼之间的距离为40米,B楼与C楼之间的距离为60米、已知A楼每天有20人取奶,B楼每天有70人取奶,C楼每天有60人取奶,公司提出两种建站方案:
方案一:让每天所有取奶的人到奶站的距离最小;
方案二:让每天A楼与C楼所有取奶的人到奶站的距离之和等于B楼所有取奶的人到奶站的距离之和,
(1)若按第一种方案建站,取奶站应建在什么位置?
(2)若按方案二建站,取奶站应建在什么位置?
(3)在(2)的情况下,若A楼每天取奶的人数增加,增加的人数不超过22人,那么取奶站将离B楼越来越远,还是越来越近?请说明理由.
(1)设取奶站建在距A楼x米处,所有取奶的人到奶站的距离总和为y米.
①当0≤x≤40时,y=20x+70(40-x)+60(100-x)=-110x+8800
∴当x=40时,y的最小值为4400,
②当40<x≤100,y=20x+70(x-40)+60(100-x)=30x+3200
此时,y的值大于4400
因此按方案一建奶站,取奶站应建在B处;
(2)设取奶站建在距A楼x米处,
①0≤x≤40时,20x+60(100-x)=70(40-x)
解得x=-
<0(舍去)320 3
②当40<x≤100时,20x+60(100-x)=70(x-40)
解得:x=80
因此按方案二建奶站,取奶站建在距A楼80米处.
(3)设A楼取奶人数增加a人
①当0≤x≤40时,(20+a)x+60(100-x)=70(40-x)
解得x=-
(舍去).3200 a+30
②当40<x≤100时,(20+a)x+60(100-x)=70(x-40),
解得x=
.8800 110−a
∴当a增大时,x增大.
∴当A楼取奶的人数增加时,按照方案二建奶站,取奶站建在B、C两楼之间,且随着人数的增加,离B楼越来越远.