如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AD=AA1=1，AB>1，点E在棱AB上移动，小蚂蚁从点A沿长方体的表面爬到点C1，所爬的最短路程为22． （1）求证：D1E⊥A1D； （2）求AB的长度； （3）在线段AB上是否存在

答

（1）证明：连接AD₁，由长方体的性质可知：
AE⊥平面AD₁，∴AD₁是ED₁在
平面AD₁内的射影．又∵AD=AA₁=1，
∴AD₁⊥A₁D
∴D₁E⊥A₁D₁（三垂线定理）
（2）设AB=x，∵四边形ADD₁A是正方形，
∴小蚂蚁从点A沿长方体的表面爬到
点C₁可能有两种途径，
如图甲的最短路程为|AC₁|=

x2+4

如图乙的最短路程为|AC₁=

(x+1)2+1

=

x2+2x+2

∵x>1
∴x²+2x+2>x²+2+2=x²+4
∴

x2+4

=2

2

∴x=2（9分）
（3）假设存在连接DE，设EB=y，过点D在平面ABCD内作DH⊥EC，连接D₁H，则∠D₁HD为二面角D₁-EC-D的平面角，
∴∠D₁HD=

π

4

，
∴DH=DD₁=1在R△EBC内，EC=

y2+1

，而EC•DH=DC•AD，
即存在点E，且离点B为

3

时，二面角D₁-EC-D的大小为

π

4

．