已知三棱锥A-BCD中,∠BCD=90°,BC=CD=1,AB⊥面BCD,∠ADB=60°,点E、F分别在AC、AD上,使面BEF⊥ACD,且EF∥CD,则平面BEF与平面BCD所成的二面角的正弦值为( ) A.66 B.77 C.24
问题描述:
已知三棱锥A-BCD中,∠BCD=90°,BC=CD=1,AB⊥面BCD,∠ADB=60°,点E、F分别在AC、AD上,使面BEF⊥ACD,且EF∥CD,则平面BEF与平面BCD所成的二面角的正弦值为( )
A.
6
6
B.
7
7
C.
2
4
D.
1 3
答
由题意,∵AB⊥面BCD,CD⊂面BCD,
∴AB⊥CD
∵∠BCD=90°
∴CD⊥BC
∵AB∩BC=B
∴CD⊥面ABC
∵BE⊂面ABC
∴CD⊥BE
∵EF∥CD
∴BE⊥EF
∵面BEF⊥面ACD,面BEF∩面ACD=EF
∴BE⊥面ACD
∵AC⊂面ACD
∴BE⊥AC
∵EF∥CD,EF⊂面BEF,EF⊄面BCD
∴EF∥面BCD
设面BEF∩面BCD=l
∴EF∥l
∴∠EBC为平面BEF与平面BCD所成的二面角
∵∠BCD=90°,BC=CD=1
∴BD=
2
∵AB⊥面BCD,∠ADB=60°
∴AB=
6
在△ABC中,BE⊥AC
∴∠EBC=∠BAC
∵AB=
,BC=1
6
∴AC=
7
∴sin∠BAC=
7
7
∴平面BEF与平面BCD所成的二面角的正弦值为
7
7
故选B.