数学附加在平面直角坐标系xoy中,过点C(2,0)做直线与抛物线y^2=2px(p>0)相交于M、N两点.

直线y=2x-4代入到抛物线中有y^2=2p(y/2+2),即有y^2-py-4p=0
设M(x1,y1),N(x2,y2),设y2>0,y1又有y1+y2=p,y1y2=-4p
故解得y1=-p,y2=2p,即有-p*2p=-4p,得到p=2
2.设CN的中点为O1,则有O1坐标是((x2+2)/2,y2)
设存在直线l:x=a,与以CN为直径的圆相交于P,Q二点,过O1作O1H垂直于PQ.
那么有O1P=1/2CN=1/2根号[(x2-2)^2+y2^2]=1/2根号(x2^2-4x2+4+4x2)=1/2根号(x2^2+4)
O1H=|a-(x2+2)/2|
那么有PH^2=O1P^2-O1H^2=1/4(x2^2+4)-(a-x2/2-1)^2=x2^2/4+1-(a^2+x2^2/4+1-ax2-2a+x2)=-a^2+2a+ax2-x2=(a-1)x2-a^2+2a
故有PQ^2=4PH^2=4[(a-1)x2-a^2+2a]
令a-1=0,即有a=1时,PQ=2是定值.即存在直线x=1,与以CN为直径的圆所截得的弦长为一定值.
同理也可以求得,直线x=1,与以CM为直径的圆所截得的弦长也是一定值2.
故存在此直线,方程是x=1.