如图,已知△ABC中,∠BAC=90゜,AB=AC,点P为BC边上一动点(BP<CP),分别过B、C作BE⊥AP于E,CF⊥AP于F. (1)求证:EF=CF-BE. (2)若点P为BC延长线上一点,其它条件不变,则线段BE、CF、EF是

问题描述:

如图,已知△ABC中,∠BAC=90゜,AB=AC,点P为BC边上一动点(BP<CP),分别过B、C作BE⊥AP于E,CF⊥AP于F.

(1)求证:EF=CF-BE.
(2)若点P为BC延长线上一点,其它条件不变,则线段BE、CF、EF是否存在某种确定的数量关系?画图并直接写出你的结论.

(1)证明:∵BE⊥AP,CF⊥AP,
∴∠AEB=∠AFC=90°.
∴∠FAC+∠ACF=90°,
∵∠BAC=90°,
∴∠BAE+∠FAC=90°,
∴∠BAE=∠ACF.
在△ABE和△CAF中,

∠AEB=∠AFC
∠BAE=∠ACF
AB=AC

∴△ABE≌△CAF(AAS),
∴AE=CF,BE=AF.
∵EF=AE-AF,
∴EF=CF-BE;
(2)EF=BE+CF
理由:∵BE⊥AP,CF⊥AP,
∴∠AEB=∠AFC=90°.
∴∠FAC+∠ACF=90°,
∵∠BAC=90°,
∴∠BAE+∠FAC=90°,
∴∠BAE=∠ACF.
在△ABE和△CAF中,
∠AEB=∠AFC
∠BAE=∠ACF
AB=AC

∴△ABE≌△CAF(AAS),
∴AE=CF,BE=AF.
∵EF=AE+AF,
∴EF=BE+CF.