如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，AB=4，点P是斜边AB上一个动点，点D是CP的中点，延长BD至E，使DE=BD，连接AE． （1）求四边形PCEA的面积； （2）当AP的长为何值时，四边形PCEA是平行四边
问题描述：
如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，AB=4，点P是斜边AB上一个动点，点D是CP的中点，延长BD至E，使DE=BD，连接AE．
（1）求四边形PCEA的面积；
（2）当AP的长为何值时，四边形PCEA是平行四边形；
（3）当AP的长为何值时，四边形PCEA是直角梯形．
答
作CH⊥AB，垂足为H，
∵∠ACB=90°，∠BAC=30°，AB=4，
∴BC=2，
则CH=
．
3
连接EP，因为CD=DP，BD=DE，得▱PBCE．则CE=PB，EP=CB=2．
（1）SAPCE＝(CE+AP)CH÷2＝AB•CH÷2＝2
，
3
四边形PCEA的面积=
（CE+AP）•CH=1 2
AB•CH=21 2
；
3
（2）当AP=2时，BP=EC=AP，则AP=EC，且AP∥EC，
得▱PCEA，∵AP=2=PC=EC，且EC∥AP；
（3）当AP=3时，P、H重合，EC∥AP，∠CPA=90°，
AP=3≠1=PB=EC，得直角梯形PCEA；
当AP=1时，△APE是直角三角形，∠EAP=90°，
EC∥AP，AP=1≠3=PB=EC，得直角梯形PCEA．