求证sin10度,cos10度,tan10度为无理数?求教

sin(3α) = 3sinα-4(sinα)^3
cos(3α) = 4(cosα)^3-3cosα
tan(3α) = (3tanα-(tanα)^3)/(1-3(tanα)^2)
利用三倍角公式以及反正法
证明：∵sin30°=3sin10°-4(sin10°)^3=1/2
设sin10°=x,则3x-4x^3=1/2,即：8x^3-6x+1=0
假设x为有理数,即x=p/q(其中p、q为整数且互质)
则8(p/q)^3-6(p/q)+1=0,∴8p^3-6pq^2+q^3=0
∴q^3=2p(3q^2-4p^2)
∴p能整除q^3
而另一方面,(p,q)=1,则(p,q^3)=1,∴结合p|q^3可得：p=1
∴8-6q^2+q^3=0,∴8=q^2(6-q)
∴6-q>0,且q^2|8,∴q^2=1,或4,∴q=1或2,∴x=1或1/2
带入方程8x^3-6x+1=0中发现均不成立,所以产生矛盾,故假设不成立!
即sin10°为无理数!
cos10°与tan10°可以使用同样的方法去证明,而另一方面，(p, q)=1，则(p, q^3)=1，∴结合p|q^3可得：p=1 ∴6-q>0，且q^2|8，∴q^2=1, 或4，∴q=1或2，∴x=1或1/2不明白，详细讲讲。谢谢你首先，由(p, q)=1到(p, q^3)=1的证明如下：设(p, q^3)=d>1，则d为质数或合数。若d为合数，则d存在质因子m，使得m|d，∴m|q^3∵m为质数，∴m|q又因为m|p，∴m|(p,q)，∴m|1，∴m=1，与m是质数矛盾！当d为质数的时候，把上面的m换成d同理可推出矛盾！∴(p, q^3)=d>1是不成立的，∴d=1，即(p, q^3)=1其次，我们得到了(p, q^3)=1，p|q^3这两个结论的时候：∵p|q^3，∴(p, q^3)=p，∴p=1最后，把p=1带入原方程，得到：8=q^2(6-q)∵q^2为完全平方数，且能被8整除，∴q^2=1或4∴q=1或2最后带入方程中进行验证即可！