如图1,在△ABC中,点P为BC边中点,直线a绕顶点A旋转,若点B,P在直线a的异侧,BM⊥直线a于点M.CN⊥直线a于点N,连接PM,PN.(1)延长MP交CN于点E(如图2).①求证:△BPM≌△CPE;②求证:PM=PN;(2)若直线a绕点A旋转到图3的位置时,点B,P在直线a的同侧,其它条件不变,此时PM=PN还成立吗?若成立,请给予证明;若不成立,请说明理由;(3)若直线a绕点A旋转到与BC边平行的位置时,其它条件不变,请直接判断四边形MBCN的形状及此时PM=PN还成立吗?不必说明理由.

问题描述:

如图1,在△ABC中,点P为BC边中点,直线a绕顶点A旋转,若点B,P在直线a的异侧,BM⊥直线a于点M.CN⊥直线a于点N,连接PM,PN.
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(1)延长MP交CN于点E(如图2).
①求证:△BPM≌△CPE;
②求证:PM=PN;
(2)若直线a绕点A旋转到图3的位置时,点B,P在直线a的同侧,其它条件不变,此时PM=PN还成立吗?若成立,请给予证明;若不成立,请说明理由;
(3)若直线a绕点A旋转到与BC边平行的位置时,其它条件不变,请直接判断四边形MBCN的形状及此时PM=PN还成立吗?不必说明理由.


答案解析:(1)①根据平行线的性质证得∠MBP=∠ECP再根据BP=CP,∠BPM=∠CPE即可得到;
②由△BPM≌△CPE,得到PM=PE则PM=

1
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ME,而在Rt△MNE中,PN=
1
2
ME,即可得到PM=PN.
(2)证明方法与②相同.
(3)四边形MBCN是矩形,则PM=PN成立.
考试点:旋转的性质;全等三角形的判定;矩形的判定.
知识点:本题考查旋转的性质.旋转变化前后,对应线段、对应角分别相等,图形的大小、形状都不改变.