2013创冠金卷理科数学高考模拟信息卷120题
问题描述：
2013创冠金卷理科数学高考模拟信息卷120题
已知动圆c过定点（－1／4,0）,且与直线x＝1／4相切,圆心c的轨迹为E且E与直线Y＝K(X＋1)相交于A,B两点.1.求E 2.在曲线E上是否存在与K值无关的点M且使MA⊥MB?
答
①设点C的坐标为（x,y）.点C到x＝1/4 的距离等于到x=1/4的距离.所以
|x-1/4|=√〔（x+1/4)²＋y²〕
两边平方化简得曲线E的方程 y²＝－x
②设曲线E上的定点M的坐标为 （x0,y0）,则 y0²＝－x0,∴x1＝－y1² ,M（－y0²,y0）
由y²＝－x得x＝－y²,代入y=k(x+1) 整理得ky²＋y－k＝0
设A(x1,y1),B(x2,y2) 则x1=-y1²,x2＝－y2².∴A（－y1²,y1）,B（－y2²,y2）
由根与系数的关系得 y1+y2=-1/k,y1*y2=-1
MA的斜率 为（y0－y1）/(-y0²+y1²)＝－1/(y0＋y1)
同理MB的斜率为 －1/(y0+y2)
如果MA⊥MB,则[－1/(y0＋y1)]*[－1/(y0+y2)]=-1
化简整理得 y0²＋（y1+y2）y0+y1*y2=-1
∴ y0²－1/k *y0-1=-1
y0²－1/k *y0=0
∴y0＝0或y0＝1/k
当y0＝0时,x0＝0
存在符合条件的点M,其坐标为（0,0）