在某个旅游业为主的地区,每年各个月份从事旅游服务工作的人数会发生周期性的变化.现假设该地区每年各个月份从事旅游服务工作的人数f(n)可近似地用函数f(n)=100•(Acos(ωn+2)+k)来刻画.其中:正整数n表示月份且n∈[1,12],例如n=1时表示1月份;A和k是正整数;ω>0.统计发现,该地区每年各个月份从事旅游服务工作的人数有以下规律:①各年相同的月份,该地区从事旅游服务工作的人数基本相同;②该地区从事旅游服务工作的人数最多的8月份和最少的2月份相差约400人;③2月份该地区从事旅游服务工作的人数约为100人,随后逐月递增直到8月份达到最多.(1)试根据已知信息,确定一个符合条件的f(n)的表达式;(2)一般地,当该地区从事旅游服务工作的人数超过400人时,该地区也进入了一年中的旅游“旺季”.那么,一年中的哪几个月是该地区的旅游“旺季”?请说明理由.

问题描述:

在某个旅游业为主的地区,每年各个月份从事旅游服务工作的人数会发生周期性的变化.现假设该地区每年各个月份从事旅游服务工作的人数f(n)可近似地用函数f(n)=100•(Acos(ωn+2)+k)来刻画.其中:正整数n表示月份且n∈[1,12],例如n=1时表示1月份;A和k是正整数;ω>0.统计发现,该地区每年各个月份从事旅游服务工作的人数有以下规律:
①各年相同的月份,该地区从事旅游服务工作的人数基本相同;
②该地区从事旅游服务工作的人数最多的8月份和最少的2月份相差约400人;
③2月份该地区从事旅游服务工作的人数约为100人,随后逐月递增直到8月份达到最多.
(1)试根据已知信息,确定一个符合条件的f(n)的表达式;
(2)一般地,当该地区从事旅游服务工作的人数超过400人时,该地区也进入了一年中的旅游“旺季”.那么,一年中的哪几个月是该地区的旅游“旺季”?请说明理由.

(1)根据三条规律,可知该函数为周期函数,且周期为12.
由此可得,T=

ω
=12⇒ω=
π
6

由规律②可知,f(n)max=f(8)=100A+100k,f(n)min
=f(2)=-100A+100kf(8)-f(2)=200A=400⇒A=2;
又当n=2时,f(2)=200•cos(
π
6
•2+2)+100k=100

所以,k≈2.99,由条件k是正整数,故取k=3.
综上可得,f(n)=200cos(
π
6
n+2)+300
符合条件.
(2)由条件,200cos(
π
6
n+2)+300>400

可得cos(
π
6
n+2)>
1
2
⇒2kπ−
π
3
π
6
n+2<2kπ+
π
3
,k∈Z
6
π
(2kπ−
π
3
−2)<n<
6
π
(2kπ+
π
3
−2)

k∈Z⇒12k−2−
12
π
<n<12k+2−
12
π
,k∈Z.
因为n∈[1,12],n∈N*,所以当k=1时,6.18<n<10.18,
故n=7,8,9,10,即一年中的7,8,9,10四个月是该地区的旅游“旺季”.
答案解析:(1)根据三条规律,知该函数为周期为12的周期函数,进而求得ω,利用规律②可求得函数的最大值和最小值,则可求得三角函数解析式中的振幅A;同时根据n=2时,f(2)的值求得k,则函数的解析式可得.
(2)利用余弦函数的性质根据题意求得cos(
π
6
n+2)的范围进而求得n的范围,根据n∈[1,12],n∈N*,进而求得n的值.
考试点:在实际问题中建立三角函数模型.
知识点:本题主要考查了在实际问题中建立三角函数模型的问题.解题的技巧是从问题中发现周期变化的规律,并将所发现的规律抽象为恰当的三角函数模型.