问个关于运用留数定理计算广义积分的问题.通常许多书上在介绍这个方法的时候都是延拓到上半平面,然后运用留数定理的,倘若有个积分他是1/1+x^2,也就说他在虚轴上各有一正一负的留数,那用上半空间的留数和下半空间的留数就得到了不同的答案,是不是在看zf(z)趋向于无穷时的行为时,还有正0负0之分?

不论是采用上半空间延拓还是下半空间延拓,答案是一样的.
用你的例子来看 1/(1+z^2)在Im>0上得孤立奇点是 i 用[-R,R]及充分大德半圆弧围成了一个闭的若尔当曲线 这样
Integral[-R,R]f(z)+Integral半圆弧f(z)=2*pi*i*Rez f(i)
积分方向为逆时针方向

若取下半平面
一样地有,
Integral[-R,R]f(z)+Integral半圆弧f(z)=-2*pi*i*Rez f(-i)
积分方向为顺时针方向（因为实数轴部分是从-R到R,因而积分方向肯定是顺时针的；如果你要弄成逆时针,上面的式子中实数轴部分的积分就是从R到-R,结果一样.）所以右边会有一个负号


Rezf(i)=lim(z->i)(z-i)/f(z)=1/(2i)
Rezf(-i)=1/(-2i),而Integral半圆弧f(z)=0(这个可以证明,省略了）求出的结果是一样的